ملخص حساب الاحتمال — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 1-3 من الوحدة الثالثة (الاحتمال)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

ما احتمال أن يظهر الرقم 6 عند رمي حجر نرد؟ وما احتمال أن تمطر غدًا؟ الاحتمال لغة رياضية نقيس بها درجة التأكد من وقوع حدث ما بعدد بين 0 و1. وقبل أن نحسبه نحتاج إلى مفاهيم دقيقة: التجربة، وفضاء العينة، والحدث، والعمليات عليه.

ملحوظة على الرموز: يكتب الكتاب المدرسي فضاء العينة بالرمز ف، والحدثين أ وب، والاحتمال ل(أ)، وعدد العناصر ن(أ). نكتبها هنا $S$ و $A$ و $B$ و $P(A)$ و $n(A)$ .

أهداف التعلم

أن تكتب فضاء العينة لتجارب بسيطة (العملة والنرد) وتعيّن الأحداث.
أن تجري العمليات على الأحداث وتمثلها بأشكال فن.
أن تميز الأحداث المتنافية.
أن تحسب الاحتمال عند تساوي الإمكانات، وتطبق مسلمات الاحتمال ونتائجها.

شرح الدرس

أولًا: التجربة العشوائية وفضاء العينة

التجربة العشوائية: تجربة يمكن معرفة جميع نواتجها الممكنة قبل إجرائها، لكن لا نستطيع أن نحدد أيًّا منها سيقع عند إجرائها (كإلقاء حجر نرد). أما سحب كرة من كيس تعرف أنها كلها حمراء فليس عشوائيًا لأن الناتج معروف مسبقًا.

فضاء العينة $S$ : مجموعة كل النواتج الممكنة للتجربة. وعدد عناصره $n(S)$ .

رمي عملة مرة: $S = \{H, T\}$ ( $H$ صورة و $T$ كتابة) و $n(S) = 2$ .
رمي عملة مرتين: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ و $n(S) = 2 \times 2 = 4$ . ولاحظ أن $HT \neq TH$ لأن الترتيب مهم.
رمي عملة ثلاث مرات: $n(S) = 2^3 = 8$ .
رمي حجر نرد مرة: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ و $n(S) = 6$ .
رمي حجر نرد مرتين: $n(S) = 6 \times 6 = 36$ زوجًا مرتبًا.

شبكة فضاء العينة لرمي حجر نرد مرتين: 36 زوجًا مرتبًا، والأزواج التي مجموعها 7 مميزة

ثانيًا: الحدث وأنواعه

الحدث مجموعة جزئية من فضاء العينة.

الحدث البسيط: يحتوي عنصرًا واحدًا فقط (كظهور الرقم 4).
الحدث المؤكد: عناصره هي فضاء العينة كله $S$ (يقع في كل مرة).
الحدث المستحيل: الخالي من أي عنصر ويرمز له بـ $\varnothing$ (لا يقع أبدًا).

ثالثًا: العمليات على الأحداث

أشكال فن لتقاطع حدثين واتحادهما ومكمل حدث والفرق بين حدثين

العملية	الرمز	المعنى
التقاطع	$A \cap B$	وقوع $A$ و $B$ معًا
الاتحاد	$A \cup B$	وقوع $A$ أو $B$ أو كليهما (أحدهما على الأقل)
المكمل	$A'$	عدم وقوع $A$ (وفيه $A \cup A' = S$ و $A \cap A' = \varnothing$ )
الفرق	$A - B$	وقوع $A$ وعدم وقوع $B$ ( $= A \cap B'$ )

قانونا دي مورجان:

(A \cup B)' = A' \cap B',\qquad (A \cap B)' = A' \cup B'

الأول يعني: عدم وقوع أي من الحدثين = عدم وقوع $A$ وعدم وقوع $B$ . والثاني: عدم وقوعهما معًا = عدم وقوع أحدهما على الأقل.

رابعًا: الأحداث المتنافية

يكون الحدثان $A$ و $B$ متنافيين إذا كان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر، أي $A \cap B = \varnothing$ . مثال: عند رمي حجر نرد، الحدث «عدد فردي» والحدث «عدد زوجي» متنافيان. وأي حدث ومكمله متنافيان. وإذا كانت عدة أحداث متنافية مثنى مثنى فكل اثنين منها متنافيان.

خامسًا: حساب الاحتمال

إذا كانت نواتج التجربة متساوية الإمكانات فإن احتمال الحدث $A$ :

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{عدد النواتج المؤدية إلى وقوع } A}{\text{عدد جميع النواتج الممكنة}}

مثال 1: كيس فيه 12 كرة متماثلة: 5 حمراء و4 خضراء و3 بيضاء. تُسحب كرة عشوائيًا:

$P(\text{حمراء}) = \frac{5}{12}$
$P(\text{حمراء أو خضراء}) = \frac{5 + 4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
$P(\text{ليست بيضاء}) = 1 - \frac{3}{12} = \frac{3}{4}$

سادسًا: مسلمات الاحتمال

لكل حدث $A \subseteq S$ عدد حقيقي $P(A)$ يحقق $0 \le P(A) \le 1$ .
$P(S) = 1$ (احتمال الحدث المؤكد).
إذا كان $A$ و $B$ متنافيين فإن $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . (وتعمم على أي عدد محدود من الأحداث المتنافية).

نتائج مهمة:

P(\varnothing) = 0,\qquad P(A') = 1 - P(A),\qquad P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

وإذا كان $A \subseteq B$ فإن $P(A) \le P(B)$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 2: رُمي حجر نرد مرة، $A$ حدث «عدد زوجي» و $B$ حدث «عدد أكبر من 2». أوجد $P(A \cup B)$ و $P(A - B)$ و $P(A')$ .

$A = \{2, 4, 6\}$ ، $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ، $A \cap B = \{4, 6\}$ . إذن $P(A) = \frac{1}{2}$ و $P(B) = \frac{2}{3}$ و $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ :

P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6},\qquad P(A - B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},\qquad P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

تحقق: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ فاحتمالها $\frac{5}{6}$ ✓، و $A - B = \{2\}$ فاحتمالها $\frac{1}{6}$ ✓.

مثال 3: إذا كان $P(A) = 0.5$ و $P(B) = 0.4$ و $P(A \cap B) = 0.2$ فأوجد: احتمال وقوع أحدهما على الأقل، واحتمال عدم وقوع أي منهما، واحتمال وقوع أحدهما فقط.

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$
$P\left((A \cup B)'\right) = 1 - 0.7 = 0.3$
أحدهما فقط: $P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.2 = 0.5$

مثال 4: رُمي حجر نرد مرتين. $A$ : «مجموع العددين 7» ( $n(A) = 6$ )، و $B$ : «ظهور العدد نفسه مرتين» ( $n(B) = 6$ ). $A \cap B = \varnothing$ فالحدثان متنافيان، ومنه $P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{1}{3}$ .

مثال 5: احتمال ظهور صورة واحدة على الأقل عند رمي عملة ثلاث مرات: الحدث المكمل «لا صورة» أي $TTT$ فقط، $P = \frac{1}{8}$ ، ومنه المطلوب $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

ملاحظات مهمة

قانون $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ صحيح فقط عند تساوي إمكانات النواتج.
الاحتمال عدد بين $0$ و $1$ دائمًا؛ فإن حصلت على $1.2$ أو $-0.3$ فراجع حلك.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ فقط للأحداث المتنافية، وإلا فاطرح $P(A \cap B)$ .
«على الأقل» تعني الاتحاد، وغالبًا يسهّل حسابها بالمكمل: $1 - P(\text{لا شيء})$ .
«أو» تعني الاتحاد، و«و» تعني التقاطع.

المفاهيم الأساسية

التجربة العشوائية: نواتجها معروفة مسبقًا لكن لا يُعرف أيها سيقع.
فضاء العينة: مجموعة كل النواتج الممكنة.
الحدث: مجموعة جزئية من فضاء العينة، وقد يكون بسيطًا أو مؤكدًا أو مستحيلًا.
الأحداث المتنافية: حدثان لا يقعان معًا ( $A \cap B = \varnothing$ ).
الاحتمال: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ عند تساوي الإمكانات، وهو بين $0$ و $1$ .

ملخص الدرس

التجربة العشوائية لها فضاء عينة هو مجموعة نواتجها، والحدث مجموعة جزئية منه. تُجرى على الأحداث عمليات التقاطع والاتحاد والمكمل والفرق، ويحكمها قانونا دي مورجان. الحدثان المتنافيان لا يقعان معًا. عند تساوي الإمكانات $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ ، ومسلمات الاحتمال تعطينا قوانين $P(A') = 1 - P(A)$ و $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

أسئلة للتدريب

اكتب فضاء العينة لتجربة رمي عملتين معدنيتين، ثم عيّن الحدث «ظهور صورة على الأقل».
حجر نرد رُمي مرة واحدة: أوجد احتمال ظهور عدد أولي.
إذا كان $P(A) = 0.6$ و $P(B) = 0.3$ والحدثان متنافيان فما $P(A \cup B)$ ؟
إذا كان $P(A) = 0.7$ و $P(B) = 0.5$ و $P(A \cap B) = 0.4$ فأوجد $P(A \cup B)$ و $P(A - B)$ .
اشرح بالكلمات معنى $(A \cup B)' = A' \cap B'$ .
رُمي حجر نرد مرتين: ما احتمال أن يكون مجموع العددين 10؟