أسئلة: حساب الاحتمال

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

فضاء العينة $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ وعدد عناصره $n(S) = 6$. الأعداد التي تقبل القسمة على 3 هي $\{3, 6\}$، إذن $n(A) = 2$. الاحتمال هو $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: 0

الحدث المستحيل هو الحدث الذي لا يمكن وقوعه، وقيمته دائمًا 0.

الإجابة الصحيحة: 0

لا يوجد وجه في النرد العادي أكبر من 6، لذا فهو حدث مستحيل.

الإجابة الصحيحة: 1

من خواص الاحتمال الأساسية أن مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة يساوي 1.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

الأعداد الفردية الأولية في النرد هي $\{3, 5\}$، إذن الاحتمال $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: 0.15

احتمال عدم النجاح هو المتمم: $1 - 0.85 = 0.15$.

الإجابة الصحيحة: مجموعة كل النتائج الممكنة للتجربة

فضاء العينة هو المجموعة الشاملة لكل النتائج التي قد تظهر من تجربة عشوائية.

الإجابة الصحيحة: 0

لا يوجد عدد يقبل القسمة على 7 في فضاء عينة النرد $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

الإجابة الصحيحة: 5

بما أن $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$، فإن $n(A) = 0.25 \times 20 = 5$.

الإجابة الصحيحة: أن تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال

يعتمد القانون الكلاسيكي على فرضية تساوي فرص وقوع كل نتيجة في فضاء العينة.

الإجابة الصحيحة: $0.3$

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$.

الإجابة الصحيحة: $\{HH, HT, TH, TT\}$

الترتيب مهم فتكون $HT \neq TH$ ويكون $n(S) = 2 \times 2 = 4$.

الإجابة الصحيحة: $36$

$n(S) = 6 \times 6 = 36$ زوجًا مرتبًا.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{6}$

الأزواج التي مجموعها $7$ هي $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ أي $6$ أزواج فالاحتمال $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

الإجابة الصحيحة: $0.7$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$.

الإجابة الصحيحة: $0.9$

للأحداث المتنافية $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.9$.

الإجابة الصحيحة: $A' \cap B'$

عدم وقوع أي من الحدثين يعني عدم وقوع $A$ وعدم وقوع $B$ معًا، أي $A' \cap B'$.

الإجابة الصحيحة: متنافيان

لا يوجد عدد فردي وزوجي معًا فتقاطعهما خالٍ.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ الاحتمال دائمًا بين $0$ و$1$.

الإجابة الصحيحة: صواب

الحدث المؤكد يقع في كل مرة وعناصره كل نواتج التجربة.

عدد عناصر فضاء العينة $n(S) = 10$. عدد الكرات الحمراء $n(A) = 3$. الاحتمال $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{10} = 0.3$.

لأن القانون الكلاسيكي $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ يعتمد على نسبة جزء من فضاء العينة إلى الكل. بما أن $n(A)$ لا يمكن أن يكون أقل من 0 (استحالة) ولا يمكن أن يتجاوز $n(S)$ (يقين)، فإن النسبة دائمًا محصورة في المجال $[0, 1]$.

فضاء العينة $S = \{1, 2, ..., 20\}$ و $n(S) = 20$. مضاعفات العدد 5 هي $\{5, 10, 15, 20\}$، إذن $n(A) = 4$. الاحتمال $P(A) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$.

$A = \{2, 4, 6\}$ و$B = \{3, 4, 5, 6\}$ و$A \cap B = \{4, 6\}$. $P(A) = \frac{1}{2}$ و$P(B) = \frac{2}{3}$ و$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$. $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. $P(A - B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ (القيمة $2$ فقط). $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$P(A \cup B) = 0.7 + 0.5 - 0.4 = 0.8$. احتمال عدم وقوع أي منهما $= 1 - 0.8 = 0.2$. احتمال $A$ فقط $= P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.4 = 0.3$.

$n(S) = 2^3 = 8$. الحدث المكمل لـ«صورة واحدة على الأقل» هو «لا صورة» أي $TTT$ فقط، واحتماله $\frac{1}{8}$. إذن المطلوب $= 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

الأزواج التي مجموعها $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ أي $3$ أزواج فالاحتمال $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. والحدثان «مجموع $7$» و«مجموع $10$» متنافيان لأن المجموع لا يكون $7$ و$10$ معًا، فتقاطعهما خالٍ.

$S = \{HH, HT, TH, TT\}$ و$n(S) = 4$. الحدث «صورة على الأقل» $= \{HH, HT, TH\}$ أي $n(A) = 3$ فالاحتمال $\frac{3}{4}$. ويمكن حسابه بالمكمل: $1 - P(TT) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

الحدث مجموعة جزئية من فضاء العينة، والحدث المكمل $A'$ هو جميع نواتج فضاء العينة التي لا تنتمي إلى $A$، فهو يعني عدم وقوع $A$. مثال: إذا كان $A$ ظهور العدد $6$ فإن $A' = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ و$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6}$.