أسئلة: الاحتمال الشرطي

الإجابة الصحيحة: $P(A \mid B)$

يُرمَز لاحتمال وقوع الحدث $A$ بشرط وقوع الحدث $B$ بالرمز $P(A \mid B)$ وتُقرأ "احتمال $A$ إذا عُلم وقوع $B$".

الإجابة الصحيحة: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ بشرط $P(B) \neq 0$

يُحسَب الاحتمال الشرطي بقسمة احتمال التقاطع $P(A \cap B)$ على احتمال الحدث الشرطي $P(B)$ شريطة ألا يساوي الصفر.

الإجابة الصحيحة: يضيق فضاء العينة الفعلي ليقتصر على الحالات التي يتحقق فيها $B$ فقط

الاحتمال الشرطي يقلص فضاء العينة الأصلي ليقتصر حصريًا على الحالات التي تحقق الشرط $B$.

الإجابة الصحيحة: 0.4

حسب القانون: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$.

الإجابة الصحيحة: بوجود معلومة إضافية عن وقوع حدث آخر $B$ يغير فضاء العينة

الفرق الجوهري هو وجود معلومة إضافية عن وقوع حدث $B$ ضيّق فضاء العينة.

الإجابة الصحيحة: $\frac{6}{9}$

بما أن الكرة الأولى المسحوبة كانت صفراء، تبقى في الصندوق 9 كرات منها 6 كرات حمراء كما هي، فيكون الاحتمال الشرطي $\frac{6}{9}$.

الإجابة الصحيحة: قد تزيد أو تنقص أو لا تؤثر في احتمال $A$

المعلومة الجديدة قد تحدث أي تأثير (زيادة، نقصان، أو عدم تأثر) بحسب طبيعة العلاقة بين الحدثين.

الإجابة الصحيحة: إذا تساوى احتمال الحدثين $P(A) = P(B)$

بما أن البسط $P(A \cap B)$ متماثل، فإن تساوي القيمتين يتطلب تساوي المقامين أي $P(A) = P(B)$.

الإجابة الصحيحة: 0.32

من قانون الاحتمال الشرطي: $P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = 0.8 \times 0.4 = 0.32$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: لأن القسمة على الصفر غير معرّفة رياضيًا

الشرط $P(B) \neq 0$ إلزامي لأن المقام لا يجوز أن يكون صفرًا في العمليات الرياضية.

الإجابة الصحيحة: 1

بما أن $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ وبما أن البسّط يساوي المقام تمامًا، تكون النتيجة 1.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

بعد العلم بأن العدد زوجي يصبح فضاء العينة $\{2, 4, 6\}$ والمحقق لـ $A$ هو $\{2\}$ فقط، فالاحتمال $\frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{14}$

$\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.

الإجابة الصحيحة: $0.36$

قاعدة الضرب: $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = 0.8 \times 0.45 = 0.36$.

الإجابة الصحيحة: $0.625$

$P(E \mid F) = \frac{25}{40} = 0.625$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{15}$

$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{6}$

يلزم أن تكون الثانية $5$ وحدها من $6$ نتائج، فالاحتمال $\frac{1}{6}$. (وبالقانون: $\frac{1/36}{6/36}$).

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ تتغير القيمتان لأن المقام يختلف، فالشرط في الأول هو $B$ وفي الثاني $A$.

الإجابة الصحيحة: صواب

لأن عدد الكرات يتغير بعد سحب الأولى، فنستعمل الاحتمال الشرطي.

نعرّف الحدثين: $B$ = "الكرة الأولى بيضاء"، و$A$ = "الكرة الثانية بيضاء". نحسب أولًا $P(B) = \frac{3}{8}$. ثم نحسب احتمال التقاطع $P(A \cap B)$ بسحب كرة بيضاء أولى ($\frac{3}{8}$) ثم كرة بيضاء ثانية من الكرات الباقية (2 بيضاء من أصل 7 كرات): $P(A \cap B) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$. بتطبيق قانون الاحتمال الشرطي: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{28}}{\frac{3}{8}} = \frac{3}{28} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.

أولًا نحسب الاحتمال الشرطي بالقانون: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$. أما التفسير، فهو أن معرفة وقوع الحدث $B$ قد قلّصت فضاء العينة الكلي للتجربة ليقتصر حصريًا على العناصر المكونة للحدث $B$ فقط (التي يمثل احتمالها 0.6)، وأصبح قياس احتمال $A$ محصورًا فقط داخل تلك النطاق الجزئي، مما أعطى القيمة 0.5.

الفرق الجوهري يكمن في أن الاحتمال المشترك $P(A \cap B)$ يمثل احتمال وقوع الحدثين معا بالنسبة لكامل فضاء العينة الأصلي للتجربة العشوائية. أما الاحتمال الشرطي $P(A \mid B)$ فهو نسبة احتمال التقاطع نفسه إلى احتمال الشرط المنفرد $P(B)$، وهو يعبر عن نسبة تحقق الحدث $A$ داخل فضاء عينة جديد مصغّر ومقيد بوقوع الحدث $B$ مسبقًا.

ليكن $B$ = "الكرة الأولى خضراء" و$A$ = "الكرة الثانية زرقاء". لدينا $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. واحتمال التقاطع $P(A \cap B) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$. الاحتمال الشرطي: $P(A \mid B) = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{4}{6}} = \frac{4}{15} \times \frac{6}{4} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$. وعند النظر للكرات المتبقية بعد سحب كرة خضراء أولى: يتبقى 5 كرات في الكيس منها 2 زرقاء و3 خضراء، إذن احتمال سحب كرة زرقاء مباشرة هو $\frac{2}{5}$، ويتطابق الناتجان تمامًا لأن الشرط حدّد فضاء السحبة الثانية بدقة.

من قانون الاحتمال الشرطي نجد التقاطع: $P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = 0.7 \times 0.4 = 0.28$. ثم نحسب الاحتمال العكسي الشرطي $P(B \mid A)$ بالقانون: $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.28}{0.5} = 0.56$. يظهر بوضوح هنا اختلاف القيمتين ($0.7$ مقابل $0.56$) لأن الشرط الأساسي والمقام مختلف في الحالتين.

نفرض أن $M$ هو حدث دراسة الرياضيات ($P(M) = 0.6$) وأن $F$ هو حدث دراسة الفيزياء ($P(F) = 0.4$)، والتقاطع هو دراسة المادتين معًا ($P(M \cap F) = 0.25$). المطلوب هو حساب احتمال دراسة الفيزياء بشرط دراسة الرياضيات أي $P(F \mid M)$. بتطبيق القانون: $P(F \mid M) = \frac{P(M \cap F)}{P(M)} = \frac{0.25}{0.6} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ (أو تقريبًا 0.4167).

$B$: الأولى $4$ وعدد نواتجها $6$ من $36$. $A$: المجموع $\ge 9$. $A \cap B = \{(4,5), (4,6)\}$ أي $2$ من $36$. $P(A \mid B) = \frac{2/36}{6/36} = \frac{1}{3}$.

الفروع: حمراء ثم حمراء $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$، حمراء ثم زرقاء $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$، زرقاء ثم حمراء $\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$، زرقاء ثم زرقاء $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$ والمجموع $1$. لونان مختلفان: $\frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$.

طريقتان للوصول إلى الثانية البيضاء: (بيضاء ثم بيضاء) $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56}$، أو (سوداء ثم بيضاء) $\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$. المجموع $\frac{35}{56} = \frac{5}{8}$.

$P(E \cup F) = \frac{50}{80} + \frac{40}{80} - \frac{25}{80} = \frac{65}{80} = 0.8125$. $P(F \mid E) = \frac{25}{50} = 0.5$ و$P(E \mid F) = \frac{25}{40} = 0.625$. القيمتان مختلفتان لأن الشرط في كل منهما مختلف.