أسئلة: الأحداث المستقلة

الإجابة الصحيحة: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

قانون اختبار الاستقلال لحدثين يعتمد على ضرب احتمال كل منهما في الآخر ليساوي احتمال تقاطعهما.

الإجابة الصحيحة: $P(A \mid B) = P(A)$

تعريف استقلال حدثين يعني أن وقوع أحدهما لا يؤثر إطلاقًا في احتمال وقوع الآخر، أي يظل احتمال $A$ ثابتًا بغض النظر عن وقوع $B$.

الإجابة الصحيحة: 0.2

بما أن الحدثين مستقلان، فإن $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$.

الإجابة الصحيحة: السحب مع الإرجاع

السحب مع الإرجاع يعيد الكرة المسحوبة إلى الكيس، مما يبقي تركيبة الكيس ثابتة واحتمالات السحبات التالية مستقلة عن السحبات السابقة.

الإجابة الصحيحة: لا، استحالة ذلك

الحدثان المتنافيان لا يمكن أن يقعا معًا ($P(A \cap B) = 0$)، ومعرفة وقوع أحدهما تجعل احتمال الآخر صفراً، وهو ما يتعارض مع تعريف الاستقلال الاحتمالي.

الإجابة الصحيحة: 0.5

من قانون الاستقلال $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$، إذن $0.15 = 0.3 \times P(B)$، ومنه $P(B) = \frac{0.15}{0.3} = 0.5$.

الإجابة الصحيحة: المتنافيان لا يقعان معًا، بينما المستقلان قد يقعان معًا ولا يؤثر أحدهما في احتمال الآخر

التنافي يعني استحالة التقاطع ($P(A \cap B) = 0$)، بينما الاستقلال يعني عدم تأثر احتمال وقوع أحد الحدثين بوقوع الآخر.

الإجابة الصحيحة: 0.2

من قانون الاستقلال: $P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.12}{0.6} = 0.2$.

الإجابة الصحيحة: نعم، مستقلان

من قانون الاتحاد نحسب التقاطع أولاً: $0.7 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B)$ إذن $P(A \cap B) = 0.2$. ونقارنه بحاصل الضرب $P(A) \times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$. بما أن $0.2 = 0.2$، فالحدثان مستقلان.

الإجابة الصحيحة: يؤدي إلى جعل الحدثين مستقلين

إعادة الكرة تحافظ على ثبات محتويات الكيس واحتمالات السحب، مما يمنع ارتباط نتيجة السحبة الثانية بنتيجة السحبة الأولى ويجعلهما مستقلين.

الإجابة الصحيحة: $\frac{9}{25}$

السحبتان مستقلتان: $\frac{6}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{9}{25}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{10}$

$\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ (غير مستقلين).

الإجابة الصحيحة: $0.42$

$0.7 \times 0.6 = 0.42$.

الإجابة الصحيحة: $0.88$

$0.7 + 0.6 - 0.42 = 0.88$ أو $1 - (0.3)(0.4) = 0.88$.

الإجابة الصحيحة: $0.504$

$0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504$.

الإجابة الصحيحة: غير مستقلين

$P(A \cap B) = 0.3 + 0.4 - 0.6 = 0.1$ بينما $0.3 \times 0.4 = 0.12$ فهما مختلفان، فالحدثان غير مستقلين.

الإجابة الصحيحة: متنافيان وغير مستقلين

لا يقعان معًا فهما متنافيان، و$P(H \cap T) = 0 \neq \frac{1}{4} = P(H)P(T)$ فليسا مستقلين.

الإجابة الصحيحة: صواب

لأن $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ للأحداث المستقلة.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ المتنافيان (باحتمالين موجبين) غير مستقلين لأن $P(A \cap B) = 0$ لا تساوي حاصل الضرب الموجب.

بما أن الحدثين مستقلان، فإن: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$ ولحساب احتمال الاتحاد نطبق القانون العام: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$

إجمالي الكرات = $3 + 2 = 5$ كرات. احتمال سحبة حمراء أولى: $P(A) = \frac{3}{5}$. بما أن السحب مع الإرجاع، فإن تركيبة الصندوق لا تتغير، فاحتمال سحبة حمراء ثانية يظل كما هو: $P(B) = \frac{3}{5}$. احتمال التقاطع (حمراء في الأولى وحمراء في الثانية): $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$. وبما أن حاصل ضرب الاحتمالين $P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ يساوي تمامًا احتمال التقاطع $P(A \cap B) = \frac{9}{25}$، إذن الحدثان مستقلان.

الحدثان المتنافيان لا يمكن أن يقعا معًا أبدًا، مما يعني أن احتمال تقاطعهما يساوي صفرًا ($P(A \cap B) = 0$). أما شرط الاستقلال فيتطلب أن يكون $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. وبما أن الفرض أن كلا الحدثين لهما احتمال موجب ($P(A) > 0$ و$P(B) > 0$)، فإن حاصل ضربهما سيكون أكبر من الصفر ($P(A) \times P(B) > 0$)، وهذا يتعارض تمامًا مع كون تقاطعهما صفراً، مما يستحيل معه جمع صفتي التنافي والاستقلال لحدثين ذوي احتمالات موجبة.

فضاء العينة للنرد = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (عدد العناصر = 6). - عناصر $A$ (عدد فردي): $\{1, 3, 5\}$ إذن $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - عناصر $B$ (أكبر من 3): $\{4, 5, 6\}$ إذن $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - عناصر التقاطع $A \cap B$ (فردي وأكبر من 3 معًا): $\{5\}$ فقط، إذن عددها 1، وعليه $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. نختبر الاستقلال بحساب حاصل الضرب: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ بما أن $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ لا يساوي حاصل الضرب $\frac{1}{4}$، إذن الحدثان $A$ و$B$ **غير مستقلين**.

- **السحب مع الإرجاع:** تُعاد الكرة المسحوبة إلى الصندوق قبل السحبة التالية، مما يبقي تركيبة الصندوق واحتمالات السحب ثابتة تمامًا، ونتيجة السحبة الأولى لا تؤثر على الثانية، فيكونان **حدثين مستقلين**. - **السحب بدون إرجاع:** لا تُعاد الكرة، مما يغير تركيبة الصندوق (ينقص إجمالي الكرات وعدد كرات اللون المسحوب)، فتصبح نتيجة السحبة الثانية معتمدة ومرتبطة بنتيجة السحبة الأولى، فيكونان **حدثين غير مستقلين**.

نعم، الحدثان مستقلان تمامًا. السبب: من شروط وتعريف الاستقلال الاحتمالي أن معرفة وقوع الحدث $B$ لا تغير من احتمال وقوع الحدث $A$ إطلاقًا، أي أن $P(A \mid B) = P(A)$. وبما أن المعطى يؤكد أن $P(A \mid B) = 0.4$ وهو مساوٍ تمامًا لـ $P(A) = 0.4$، فقد تحقق شرط الاستقلال رياضيًا ومنطقيًا.

الإصابة في المحاولتين: $0.9 \times 0.9 = 0.81$. إحداهما على الأقل: نستعمل المكمل (عدم الإصابة في أي منهما) $= 0.1 \times 0.1 = 0.01$ فالمطلوب $1 - 0.01 = 0.99$.

نستعمل المكمل: لا ينجح في أي اختبار $= (1 - 0.9)(1 - 0.8)(1 - 0.7) = 0.1 \times 0.2 \times 0.3 = 0.006$. فالمطلوب $= 1 - 0.006 = 0.994$.

$P(A) = \frac{1}{2}$ و$P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$. التقاطع: الأولى زوجي والثانية فردي: $3 \times 3 = 9$ نواتج من $36$ فـ$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$. وحاصل الضرب $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ فالحدثان مستقلان.

المتنافيان لا يقعان معًا والشرط $P(A \cap B) = 0$ والاتحاد $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. المستقلان وقوع أحدهما لا يؤثر في احتمال الآخر والشرط $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ والاتحاد $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$. ولا يجتمع التنافي والاستقلال لحدثين احتمال كل منهما موجب.

مع الإرجاع (مستقلان): $\frac{6}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{9}{25} = 0.36$. دون الإرجاع (غير مستقلين): $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0.33$. يقل الاحتمال دون إرجاع لأن السوداء المسحوبة تُنقص عدد السوداوات المتبقية في الكيس.