أسئلة: الانحدار

الإجابة الصحيحة: $y = a + bx$

الصورة العامة لمعادلة خط الانحدار الخطي البسيط هي $y = a + bx$ حيث $a$ هو الجزء المقطوع و$b$ هو الميل.

الإجابة الصحيحة: نقطة تقاطع الخط مع محور $y$

الرمز $a$ يمثل القيمة المتوقعة لـ $y$ عندما تكون $x = 0$، وهي نقطة التقاطع مع محور $y$.

الإجابة الصحيحة: $(\bar{x}, \bar{y})$

نقطة المتوسطين $(\bar{x}, \bar{y})$ تحقق معادلة خط الانحدار دائمًا وتقع عليه بالضرورة.

الإجابة الصحيحة: 11

بالتعويض في المعادلة $y = 3 + 2x$ نجد أن $y = 3 + 2(4) = 3 + 8 = 11$.

الإجابة الصحيحة: تزداد موثوقية التنبؤ

كلما اقتربت $|r|$ من الواحد، كان الارتباط أقوى، مما يجعل التنبؤ أكثر موثوقية.

الإجابة الصحيحة: 2

نستخدم القانون $a = \bar{y} - b\bar{x}$، إذن $a = 5 - (1.5)(2) = 5 - 3 = 2$.

الإجابة الصحيحة: جعل مجموع مربعات الفروق أصغر ما يمكن

طريقة المربعات الصغرى تهدف لتقليل مجموع مربعات الفروق بين القيم الفعلية والقيم المتوقعة.

الإجابة الصحيحة: 0.5

ميل الخط $b$ يمثل مقدار التغير في $y$ لكل زيادة بمقدار وحدة واحدة في $x$.

الإجابة الصحيحة: هما نفس البسط بمقام مختلف

قانون $b$ يستخدم نفس بسط قانون معامل الارتباط بيرسون.

الإجابة الصحيحة: لأن العلاقة قد لا تبقى خطية

معادلة الانحدار تعتمد على افتراض استمرار النمط الخطي ضمن نطاق البيانات المرصودة فقط.

الإجابة الصحيحة: المتغير التابع

في الانحدار $y$ على $x$، يكون $y$ هو المتغير التابع الذي نحاول التنبؤ بقيمته.

الإجابة الصحيحة: $1$

$b = \frac{5(70) - 15 \times 20}{5(55) - 15^2} = \frac{350 - 300}{275 - 225} = \frac{50}{50} = 1$.

الإجابة الصحيحة: عكسي

إشارة $b$ هي إشارة معامل الارتباط؛ وهي سالبة هنا، فالارتباط عكسي.

الإجابة الصحيحة: $9$

$\hat{y} = 2 + \frac{7}{6} \times 6 = 2 + 7 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $0.3$

مقدار الخطأ $= |5 - 4.7| = 0.3$ (قيمة مطلقة لا تكون سالبة).

الإجابة الصحيحة: صواب

هذا هو تعريف الانحدار الخطي البسيط، أما إذا تعدد المستقل فهو انحدار متعدد.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ لكل منهما معادلته الخاصة لأن المتغير التابع يختلف.

الإجابة الصحيحة: المتغير التابع

التابع هو $y$ الذي نتنبأ به اعتمادًا على المستقل $x$.

أولًا نحسب $b$: $b = \frac{5(50) - 10(20)}{5(30) - (10)^2} = \frac{250 - 200}{150 - 100} = \frac{50}{50} = 1$. ثم نحسب المتوسطات: $\bar{x} = 2, \bar{y} = 4$. ثم نحسب $a$: $a = 4 - 1(2) = 2$. المعادلة هي: $y = 2 + 1x$.

بالتعويض المباشر في المعادلة: $y = 0.5 + 2(10) = 0.5 + 20 = 20.5$.

نعلم أن $a = \bar{y} - b\bar{x}$. بالتعويض عن $x$ بـ $\bar{x}$ في المعادلة $y = a + bx$، نحصل على: $y = (\bar{y} - b\bar{x}) + b\bar{x} = \bar{y}$. بما أن الطرفين متساويان، فإن النقطة تقع على الخط.

المتغير المستقل ($x$) هو المتغير الذي نستخدم قيمته المعلومة للتنبؤ، بينما المتغير التابع ($y$) هو المتغير الذي نريد تقدير قيمته بناءً على العلاقة الخطية مع $x$.

لا، لأن طريقة المربعات الصغرى تهدف لجعل مجموع مربعات الفروق أصغر ما يمكن. الخط الأمثل يجب أن يحقق أقل قيمة ممكنة لهذا المجموع.

$b = \frac{100}{200} = 0.5$.

$n = 4$، $\sum x = 10$، $\sum y = 16$، $\sum xy = 2 + 6 + 15 + 24 = 47$، $\sum x^2 = 30$. $b = \frac{4(47) - 10 \times 16}{4(30) - 100} = \frac{188 - 160}{20} = 1.4$. $a = \frac{16 - 1.4 \times 10}{4} = 0.5$. المعادلة $\hat{y} = 0.5 + 1.4x$. عند $x = 5$: $\hat{y} = 0.5 + 7 = 7.5$ (و$x = 5$ قريبة من مدى البيانات فالتنبؤ مقبول).

عند $x = 7$: $\hat{y} = 2 + \frac{7}{6} \times 7 = 2 + \frac{49}{6} \approx 10.17$. عند $x = 6$: القيمة المقدّرة $= 2 + \frac{7}{6} \times 6 = 9$ والقيمة الفعلية $9$ فمقدار الخطأ $= |9 - 9| = 0$.

الميل $b = -1.8$ يعني أن كل زيادة قدرها ساعة واحدة في استخدام الهاتف يصاحبها نقص متوقع قدره $1.8$ درجة في التركيز (علاقة عكسية). والثابت $a = 10.8$ هو القيمة المقدّرة للتركيز عندما $x = 0$ أي دون استخدام للهاتف، وقد لا يكون له معنى واقعي دائمًا.

لأن المعادلة بُنيت من بيانات في مدى محدد، ولا نعلم أن العلاقة الخطية تبقى خارجه. مثال: في العلاقة $\hat{y} = 10.8 - 1.8x$ التي بُنيت على قيم $x$ من 1 إلى 5، يعطي التعويض عن $x = 6$ القيمة $0$ ولا نعلم هل هذا صحيح واقعيًا، أما التنبؤ عند $x = 3.5$ فمقبول لأنه داخل المدى.