أسئلة: نصف المدى الربيعي

الإجابة الصحيحة: $Q_d = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$

نصف المدى الربيعي هو نصف الفرق بين الرباعي الثالث والرباعي الأول.

الإجابة الصحيحة: 10

$Q_d = \frac{30 - 10}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

الإجابة الصحيحة: المدى الكلي

المدى الكلي يعتمد على أكبر وأصغر قيمة فقط، مما يجعله حساساً جداً للقيم المتطرفة.

الإجابة الصحيحة: تركّز النصف الأوسط من البيانات حول الوسيط

القيمة الصغيرة تدل على تجانس نسبي وتقارب في البيانات.

الإجابة الصحيحة: لأنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة

يعتمد على الرباعيين الأول والثالث اللذين يقعان في قلب البيانات.

الإجابة الصحيحة: 30

المدى الربيعي هو $Q_3 - Q_1 = 45 - 15 = 30$.

الإجابة الصحيحة: لا، يبقى ثابتاً غالباً

نصف المدى الربيعي لا يعتمد على القيم القصوى في الأطراف.

الإجابة الصحيحة: أن النصف الأوسط من البيانات متطابق

إذا كان $Q_3 = Q_1$ فإن $Q_d = 0$.

الإجابة الصحيحة: الرباعيات ($Q_1, Q_3$)

القانون يتطلب معرفة الرباعي الأول والثالث.

الإجابة الصحيحة: لا، ليس بالضرورة

المدى الكلي ونصف المدى الربيعي يقيسان جوانب مختلفة ولا توجد علاقة طردية ثابتة بينهما.

الإجابة الصحيحة: الانحراف الربيعي

الانحراف الربيعي هو مسمى آخر لنصف المدى الربيعي.

الإجابة الصحيحة: $7$

$Q = \frac{26.5 - 12.5}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

الإجابة الصحيحة: $4.625$

$Q = \frac{18 - 8.75}{2} = \frac{9.25}{2} = 4.625$.

الإجابة الصحيحة: المدى

المدى يعتمد على أكبر قيمة فيتغير كثيرًا، بينما يعتمد نصف المدى الربيعي على الرباعيين فيتغير قليلًا.

الإجابة الصحيحة: $3$

كلما صغر نصف المدى الربيعي كان تشتت النصف الأوسط أقل فالتجانس أكبر.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ يعتمد على الرباعيين فقط وهذا من عيوبه.

الإجابة الصحيحة: صواب

القسمة على $2$ خاصة بنصف المدى الربيعي.

نطبق القانون: $Q_d = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$. بالتعويض: $Q_d = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

المدى الكلي شديد الحساسية للقيم المتطرفة لأنه يعتمد على أكبر وأصغر قيمة في العينة. أما نصف المدى الربيعي فهو مقياس أكثر استقراراً لأنه يعتمد على الرباعيين الأول والثالث اللذين يقعان في منتصف البيانات ولا يتأثران بالقيم الشاذة في الأطراف.

نستنتج أن النصف الأوسط من البيانات متجانس جداً ومتركز حول الوسيط (بسبب صغر قيمة نصف المدى الربيعي)، وأن المدى الكلي الكبير جداً مقارنة به يشير إلى وجود قيم متطرفة شاذة في أطراف البيانات أدت إلى تضخم المدى الكلي.

المدى الربيعي = $Q_3 - Q_1 = 65 - 45 = 20$. نصف المدى الربيعي = $\frac{20}{2} = 10$.

نصف المدى الربيعي يركز على تشتت النصف الأوسط من البيانات (المسافة بين $Q_1$ و$Q_3$). الوسيط يقسم البيانات إلى نصفين، لكن قياس التشتت الربيعي يهتم بالمدى الذي يغطي 50% من البيانات المركزية، والرباعيان هما الحدود التي تحدد هذا المدى.

$n = 9$. المدى $= 16 - 3 = 13$. رتبة $Q_1 = 2.5$ بين $5$ و$6$ فـ$Q_1 = 5.5$، ورتبة $Q_3 = 7.5$ بين $12$ و$15$ فـ$Q_3 = 13.5$. نصف المدى الربيعي $= \frac{13.5 - 5.5}{2} = 4$.

قبل الإضافة: المدى $= 30 - 12 = 18$، و$Q_1 = 15$ و$Q_3 = 25$ فنصف المدى الربيعي $= 5$. بعد الإضافة ($n = 8$): المدى $= 100 - 12 = 88$، ورتبة $Q_1 = 2.25$ فـ$Q_1 = 15.5$، ورتبة $Q_3 = 6.75$ فـ$Q_3 = 28.75$ فنصف المدى الربيعي $= 6.625$. المدى تضاعف أكثر من أربع مرات بينما تغير نصف المدى الربيعي قليلًا، لذلك يُفضَّل عند وجود قيم متطرفة.

المزايا: بسيط وسهل الحساب، ولا يتأثر كثيرًا بالقيم المتطرفة لأنه يعتمد على الرباعيين اللذين يحصران نصف البيانات الأوسط. العيوب: لا يأخذ كل القيم في الاعتبار، فهو يهمل النصف الآخر من البيانات.