أسئلة: الفترات والعمليات عليها

الإجابة الصحيحة: الفترة المفتوحة

الفترة المفتوحة $]a, b[$ هي كل الأعداد الحقيقية $x$ حيث $a < x < b$، فلا تضم طرفيها.

الإجابة الصحيحة: $[-5, 3]$

الطرفان ينتميان إلى الفترة، فهي فترة مغلقة $[-5, 3]$.

الإجابة الصحيحة: أن الطرف لا ينتمي إلى الفترة

النقطة المفرغة تعني أن الطرف لا ينتمي إلى الفترة، ويقابلها القوس المفتوح.

الإجابة الصحيحة: $]3, 6]$

الجزء المشترك يبدأ بعد $3$ (لأن $3 \notin B$) وينتهي عند $6$ (لأن $6$ ينتمي إلى الفترتين)، إذن $A \cap B = ]3, 6]$.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty, 2] \cup [5, \infty[$

الفترتان منفصلتان (لا تتداخلان)، فيُكتب الاتحاد بكتابتهما معًا بينهما رمز الاتحاد.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty, 4[$

الأعداد أصغر تمامًا من $4$، فالفترة تمتد إلى $-\infty$ و $4$ غير منتمٍ فيكون القوس عنده مفتوحًا.

الإجابة الصحيحة: نقطة مصمتة عند 0 وسهم إلى اليمين

$0$ ينتمي إلى الفترة (نقطة مصمتة)، والأعداد الأكبر منه تقع يمينه على خط الأعداد.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty, 5]$

كل عناصر $A$ تنتمي إلى $B$ (أي $A \subset B$)، لذلك $A \cup B = B$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

العدد $10$ ينتمي إلى $B$ ولا ينتمي إلى $A$، ولا يوجد عدد آخر مشترك، إذن التقاطع هو المجموعة الخالية.

الإجابة الصحيحة: $]-3, \infty[$

الأعداد أكبر تمامًا من $-3$، فالقوس عند $-3$ مفتوح والفترة تمتد إلى $\infty$.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty, 0]$

$A \subset B$، والتقاطع هو الأعداد التي تنتمي إلى الفترتين معًا، أي الفترة الأصغر $A$.

الإجابة الصحيحة: نقطة مفرغة عند 2 ونقطة مصمتة عند 7 مع تظليل ما بينهما

القوس المفتوح عند $2$ يعني أنه لا ينتمي (نقطة مفرغة)، والقوس المغلق عند $7$ يعني أنه ينتمي (نقطة مصمتة).

الإجابة الصحيحة: $[-1, 2[$

نحذف من $X$ كل عنصر ينتمي إلى $Y$. العدد $2 \in Y$ فيُحذف، فيصبح الطرف عنده مفتوحًا: $[-1, 2[$.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty, -3[ \cup [2, \infty[$

$X' = \mathbb{R} - X$. العدد $-3 \in X$ فلا ينتمي إلى $X'$، والعدد $2 \notin X$ فينتمي إلى $X'$.

الإجابة الصحيحة: $X - Y = [1, 3]$ و $Y - X = ]5, 8]$

$3 \notin Y$ فيبقى في $X - Y$ ليصبح $[1, 3]$، و $5 \in X$ فيُحذف من $Y$ ليصبح $Y - X = ]5, 8]$. والفرق ليس إبداليًا.

الفترة هي $[-1, 6[$. التمثيل على خط الأعداد: - نقطة مصمتة عند $-1$ لأنه ينتمي إلى الفترة. - نقطة مفرغة عند $6$ لأنه لا ينتمي إلى الفترة. - نظلل الجزء الواقع بين $-1$ و $6$.

نمثل $A$: نقطة مصمتة عند $-4$ ونقطة مفرغة عند $3$. ونمثل $B$: نقطة مفرغة عند $0$ ونقطة مصمتة عند $7$. - الاتحاد: من أصغر بداية إلى أكبر نهاية: $A \cup B = [-4, 7]$. - التقاطع: الجزء المشترك بين $0$ (لا ينتمي إلى $B$) و $3$ (لا ينتمي إلى $A$): $A \cap B = ]0, 3[$.

الشرط $x \geq -1$ يعني أن $-1$ ينتمي والأعداد تمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب. الفترة: $[-1, \infty[$. وهي فترة غير محدودة لأنها تمتد إلى $\infty$.

$A$ تضم الأعداد الأكبر من $2$ والأصغر تمامًا من $10$، أي أن $10 \notin A$. $B$ تضم الأعداد من $10$ إلى $15$ مع الطرفين، أي أن $10 \in B$. العدد $10$ هو الحد الفاصل، وهو لا ينتمي إلى $A$، ولا يوجد أي عدد آخر مشترك، إذن $A \cap B = \varnothing$.

- الفترة الأولى: نقطة مفرغة عند $0$ وسهم إلى اليسار. - الفترة الثانية: نقطة مصمتة عند $0$ وسهم إلى اليمين. - الاتحاد: يغطي الأعداد السالبة والصفر والأعداد الموجبة، أي $]-\infty, \infty[ = \mathbb{R}$. - التقاطع: العدد $0$ لا ينتمي إلى الفترة الأولى، ولا يوجد عدد مشترك آخر، إذن التقاطع $\varnothing$.

- $X - Y$: نحذف من $X$ ما ينتمي إلى $Y$، و $1 \notin Y$ فيبقى: $X - Y = [-2, 1]$. - $Y - X$: نحذف من $Y$ ما ينتمي إلى $X$، و $3 \in X$ فيُحذف: $Y - X = ]3, \infty[$. - $X' = \mathbb{R} - X = ]-\infty, -2[ \cup ]3, \infty[$. - بما أن $X - Y \neq Y - X$ فإن عملية الفرق ليست إبدالية.