أسئلة: الأعداد الحقيقية

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{11}$

العدد $\sqrt{11}$ غير نسبي لأن $11$ ليس مربعًا كاملًا، بينما الأعداد الأخرى إما جذور لمربعات كاملة أو كسور اعتيادية.

الإجابة الصحيحة: المجموعة الخالية $\varnothing$

لا يوجد أي عدد مشترك بين الأعداد النسبية وغير النسبية، لذا فإن تقاطعهما يساوي المجموعة الخالية $\varnothing$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

التدرج الصحيح لمجموعات الأعداد هو أن الطبيعية جزء من الصحيحة، والصحيحة جزء من النسبية، والنسبية جزء من الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: $1.7 < \sqrt{3} < \sqrt{5}$

بالقيم التقريبية: $\sqrt{3} \approx 1.732$ و $\sqrt{5} \approx 2.236$، وبما أن $1.7 < 1.732 < 2.236$ إذن الترتيب التصاعدي هو $1.7 < \sqrt{3} < \sqrt{5}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{2}$

العدد $\frac{5}{2} = 2.5$ عدد نسبي ولكنه ليس عددًا صحيحًا، بينما الأعداد الأخرى صحيحة ونسبية في الوقت ذاته.

الإجابة الصحيحة: $2 < x < 3$

بما أن $4 < 7 < 9$، فإن أخذ الجذور التربيعية يعطي $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$، أي أن $2 < \sqrt{7} < 3$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{Q} \cup \bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$

تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ هو اتحاد مجموعة الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ ومجموعة الأعداد غير النسبية $\bar{\mathbb{Q}}$.

الإجابة الصحيحة: عدد طبيعي فقط

بما أن $\sqrt{16} = 4$ و $\sqrt{9} = 3$ فإن الناتج هو $4 + 3 = 7$، وهو عدد طبيعي (ينتمي لـ $\mathbb{N}$ ولجميع المجموعات الأكبر).

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{5}$

العدد $\sqrt{5} \approx 2.236$ يقع بين $2$ و $3$ وهو غير نسبي، بينما $2.5$ و $\frac{7}{3}$ أعداد نسبية، و$\sqrt{9} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $5$

تربيع الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي موجب يعطي العدد نفسه، إذن $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$.

الإجابة الصحيحة: $0.\overline{6}$

الأعداد العشرية الدورية مثل $0.\overline{6} = \frac{2}{3}$ تعتبر أعدادًا نسبية، بينما الباقي أعداد غير نسبية.

الإجابة الصحيحة: النقطة الممثلة للعدد $a$ تقع إلى يسار النقطة الممثلة للعدد $b$.

على خط الأعداد الأفقي، كلما اتجهنا يسارًا قلّت قيمة العدد، لذا العدد الأصغر $a$ يقع إلى يسار العدد الأكبر $b$.

الإجابة الصحيحة: $\{\sqrt{5}, -\sqrt{5}\}$

$x^2 = 5$ ولها حلان: $x = \sqrt{5}$ أو $x = -\sqrt{5}$، وكلاهما عدد حقيقي.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

$x^3 = -8$ إذن $x = -2$، لكن $-2$ عدد نسبي ولا ينتمي إلى $\bar{\mathbb{Q}}$، فمجموعة الحل $\varnothing$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

$x^2 = -4$، ولا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب، إذن مجموعة الحل $\varnothing$.

- $\sqrt{12}$ عدد غير نسبي؛ لأن $12$ ليس مربعًا كاملًا. - $\frac{-3}{4}$ عدد نسبي؛ لأنه مكتوب على صورة كسر $\frac{a}{b}$ حيث $a, b \in \mathbb{Z}$ و $b \neq 0$. - $\sqrt{25} = 5$ عدد نسبي؛ لأن $25$ مربع كامل. - $0.2\overline{5}$ عدد نسبي؛ لأنه عدد عشري دوري ويمكن تحويله إلى كسر اعتيادي.

1. نوجد القيمة التقريبية للأعداد غير النسبية: - $\sqrt{10} \approx 3.16$ - $-\sqrt{5} \approx -2.24$ 2. نكتب جميع الأعداد معًا للمقارنة: - $\sqrt{10} \approx 3.16$ - $3.2$ - $-\sqrt{5} \approx -2.24$ - $0$ - $\frac{7}{2} = 3.5$ 3. الترتيب التنازلي من الأكبر إلى الأصغر: $\frac{7}{2} > 3.2 > \sqrt{10} > 0 > -\sqrt{5}$

- العدد $\frac{3}{5}$ ينتمي إلى $\mathbb{Q}$ لأنه مكتوب على صورة $\frac{a}{b}$ حيث $a = 3$ و $b = 5$ وهما عددان صحيحان وبسط ومقام مع مراعاة أن $b = 5 \neq 0$. - نعم، ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$؛ لأن مجموعة الأعداد النسبية هي جزء أساسي من الأعداد الحقيقية (أي أن $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).

1. نحسب قيمة كل جزء على حدة: - $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$ - $\sqrt{16} = 4$ - $\frac{10}{2} = 5$ 2. نعوض بالقيم في التعبير: $7 + 4 - 5 = 11 - 5 = 6$ 3. نوع الناتج: العدد $6$ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية $\mathbb{N}$، والصحيحة $\mathbb{Z}$، والنسبية $\mathbb{Q}$، والحقيقية $\mathbb{R}$.

- نعم، يمكن أن يكون حاصل ضرب عددين غير نسبيين عددًا نسبيًا. - مثال: ليكن العدد الأول $\sqrt{2}$ والعدد الثاني $\sqrt{2}$، وكلاهما عددان غير نسبيين. - عند ضربهما: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$. - الناتج هو العدد $2$، وهو عدد نسبي (وكذلك صحيح وطبيعي وحقيقي).

- (أ) العبارة صحيحة؛ لأن مجموعة الأعداد الطبيعية $\mathbb{N}$ هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ (عبر التدرج $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$). - (ب) العبارة خاطئة؛ لأن هناك أعدادًا حقيقية تنتمي إلى مجموعة الأعداد غير النسبية $\bar{\mathbb{Q}}$ (مثل $\pi$ أو $\sqrt{2}$) وليست أعدادًا نسبية.