الثانوية العامة 2026الاستعلام عن النتيجةاعرف الكليات المناسبة لمجموعكتنسيق 2026
ذاكر مصر

الرياضيات · الصف الثاني الإعدادي · الترم الأول

الأعداد الحقيقية

التعرف على مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية (الطبيعية، الصحيحة، النسبية، غير النسبية) والعلاقة بينها على خط الأعداد.

آخر تحديث: · كيف نراجع المحتوى

مقدمة

  • الوحدة: الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

درست في الصف الأول الإعدادي الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية. لكن هناك أعدادًا لا يمكن كتابتها في صورة كسر، مثل طول قطر مربع طول ضلعه وحدة واحدة. يوسّع هذا الدرس فكرة العدد لتشمل هذه الأعداد، فنصل إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

أهداف التعلم

  • أن يتعرف الطالب على مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية.
  • أن يميز الطالب بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.
  • أن يمثل الطالب الأعداد الحقيقية على خط الأعداد.
  • أن يرتب الطالب مجموعة من الأعداد الحقيقية تصاعديًا وتنازليًا.
  • أن يوضح الطالب العلاقة بين مجموعات الأعداد المختلفة (شمول بعضها بعضًا).
  • أن يحل الطالب معادلات بسيطة من الدرجة الثانية أو الثالثة في R\mathbb{R} أو في Qˉ\bar{\mathbb{Q}}.

شرح الدرس

مجموعات الأعداد المعروفة

تبدأ دراسة الأعداد الحقيقية بمراجعة المجموعات التي درسها الطالب سابقًا:

  • مجموعة الأعداد الطبيعية N={0,1,2,3,...}\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} أو {1,2,3,...}\{1, 2, 3, ...\}.
  • مجموعة الأعداد الصحيحة Z={...,−2,−1,0,1,2,...}\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}، وتشمل الأعداد الطبيعية وسالبها.
  • مجموعة الأعداد النسبية Q\mathbb{Q}: وهي كل عدد يمكن كتابته في الصورة ab\frac{a}{b} حيث a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}، b≠0b \neq 0. وتشمل الكسور والأعداد العشرية المنتهية أو الدورية، مثل 34\frac{3}{4}، −2-2، 0.750.75، 0.3‾0.\overline{3}.

الأعداد غير النسبية

العدد غير النسبي هو عدد لا يمكن كتابته في صورة كسر ab\frac{a}{b}، وتمثيله العشري لا ينتهي ولا يتكرر بنمط معين. ويُرمز لمجموعتها بالرمز Qˉ\bar{\mathbb{Q}} أو Q′\mathbb{Q}'.

من أهم الأمثلة على الأعداد غير النسبية:

  • الجذور التربيعية للأعداد الطبيعية التي ليست مربعات كاملة، مثل 2,3,5,7\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}.
  • العدد π≈3.14159...\pi \approx 3.14159...
  • الأعداد العشرية غير المنتهية وغير الدورية، مثل 0.101001000100001...0.101001000100001...

ملاحظة مهمة: 4=2\sqrt{4} = 2 عدد نسبي لأن 44 مربع كامل، لكن 2\sqrt{2} غير نسبي لأن 22 ليس مربعًا كاملًا.

مجموعة الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية R\mathbb{R} هي اتحاد مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية:

R=Q∪Qˉ\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \bar{\mathbb{Q}}

ولا يوجد عدد ينتمي إلى المجموعتين معًا، أي أن:

Q∩Qˉ=∅\mathbb{Q} \cap \bar{\mathbb{Q}} = \varnothing

العلاقة بين مجموعات الأعداد (الشمول)

توجد علاقة تدرج بين المجموعات المختلفة:

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

وكذلك Qˉ⊂R\bar{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{R}. يمكن تمثيل هذه العلاقة بأشكال دائرية متداخلة (فن) توضح أن كل عدد طبيعي عدد صحيح، وكل عدد صحيح عدد نسبي، وأن الأعداد النسبية وغير النسبية كلها أعداد حقيقية.

تمثيل الأعداد الحقيقية على خط الأعداد

لكل عدد حقيقي نقطة واحدة تمثله على خط الأعداد، ولكل نقطة على خط الأعداد عدد حقيقي واحد يقابلها؛ أي أن هناك تناظرًا تامًا بين نقاط الخط ومجموعة الأعداد الحقيقية. ولتمثيل عدد مثل 2\sqrt{2} هندسيًا يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإنشاء طول 2\sqrt{2} ثم نقله على خط الأعداد بالفرجار.

ترتيب الأعداد الحقيقية

يمكن مقارنة أي عددين حقيقيين a,ba, b فتكون إحدى الحالات الثلاث محققة دائمًا:

a>bأوa=bأوa<ba > b \quad \text{أو} \quad a = b \quad \text{أو} \quad a < b

وكلما اتجهنا يمينًا على خط الأعداد زادت قيمة العدد، وكلما اتجهنا يسارًا قلّت قيمته. ولمقارنة الأعداد غير النسبية نستعين بتقريبها العشري، فمثلًا لمقارنة 5\sqrt{5} و 2.32.3 نجد أن 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236، إذن 5<2.3\sqrt{5} \lt 2.3.

حل المعادلات في مجموعة الأعداد الحقيقية

لحل معادلة مثل x2=ax^2 = a أو x3=ax^3 = a نعزل القوة أولًا، ثم نأخذ الجذر المناسب، ثم نتأكد أن الحلول تنتمي إلى المجموعة المطلوبة:

  • إذا كان x2=ax^2 = a و a>0a > 0، فإن x=ax = \sqrt{a} أو x=−ax = -\sqrt{a} (حلان).
  • إذا كان x2=ax^2 = a و a<0a < 0، فلا يوجد حل في R\mathbb{R}، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا، ومجموعة الحل ∅\varnothing.
  • إذا كان x3=ax^3 = a، فإن x=a3x = \sqrt[3]{a} (حل واحد دائمًا، ويكون سالبًا إذا كان aa سالبًا).

انتبه: إذا طُلب الحل في Qˉ\bar{\mathbb{Q}} (الأعداد غير النسبية) واستبعدنا حلًّا نسبيًا مثل −2-2، تكون مجموعة الحل ∅\varnothing.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: صنّف كلًا من الأعداد التالية إلى نسبي أو غير نسبي: 9\sqrt{9}، 7\sqrt{7}، 0.60.6، π\pi.

الحل:

  • 9=3\sqrt{9} = 3 عدد نسبي (لأن 9 مربع كامل).
  • 7\sqrt{7} عدد غير نسبي (لأن 7 ليس مربعًا كاملًا).
  • 0.6=610=350.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} عدد نسبي.
  • π\pi عدد غير نسبي.

مثال 2: رتب الأعداد التالية تصاعديًا: 2,1.5,5,2\sqrt{2}, 1.5, \sqrt{5}, 2.

الحل: نوجد القيمة التقريبية لكل عدد:

2≈1.41,1.5,5≈2.24,2\sqrt{2} \approx 1.41, \quad 1.5, \quad \sqrt{5} \approx 2.24, \quad 2

بالترتيب التصاعدي: 2<1.5<2<5\sqrt{2} \lt 1.5 \lt 2 \lt \sqrt{5}.

مثال 3: بيّن أن العدد 27\frac{2}{7} ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية موضحًا السبب.

الحل: العدد 27\frac{2}{7} على صورة كسر ab\frac{a}{b} حيث a=2,b=7∈Za = 2, b = 7 \in \mathbb{Z} و b≠0b \neq 0، إذن 27∈Q\frac{2}{7} \in \mathbb{Q}، وبالتالي هو أيضًا عدد حقيقي لأن Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

مثال 4: بين أي عددين صحيحين متتاليين يقع العدد 20\sqrt{20}؟ وأيهما أقرب إليه؟

الحل: 16<20<2516 \lt 20 \lt 25، إذن 4<20<54 \lt \sqrt{20} \lt 5. وبما أن 4.52=20.25>204.5^2 = 20.25 \gt 20، فإن 20<4.5\sqrt{20} \lt 4.5، أي أن 20\sqrt{20} أقرب إلى 44.

مثال 5: أوجد مجموعة الحل في R\mathbb{R} لكل من المعادلات الآتية:

  1. x2−7=0x^2 - 7 = 0
  2. 2x3+5=−112x^3 + 5 = -11
  3. 3x2+4=13x^2 + 4 = 1

الحل:

  1. x2=7x^2 = 7، إذن x=±7x = \pm\sqrt{7}، ومجموعة الحل {7,−7}\{\sqrt{7}, -\sqrt{7}\}.
  2. 2x3=−162x^3 = -16، إذن x3=−8x^3 = -8، و x=−83=−2x = \sqrt[3]{-8} = -2، ومجموعة الحل {−2}\{-2\}.
  3. 3x2=−33x^2 = -3، إذن x2=−1x^2 = -1، ولا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب، فمجموعة الحل ∅\varnothing.

ولو طُلب حل المعادلة الثانية في Qˉ\bar{\mathbb{Q}} لكانت مجموعة الحل ∅\varnothing، لأن −2-2 عدد نسبي.

المفاهيم الأساسية

  • الأعداد النسبية Q\mathbb{Q} تُكتب في صورة ab\frac{a}{b}، b≠0b \neq 0.
  • الأعداد غير النسبية لا تُكتب في صورة كسر، وتمثيلها العشري غير منته وغير دوري.
  • R=Q∪Qˉ\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \bar{\mathbb{Q}} و Q∩Qˉ=∅\mathbb{Q} \cap \bar{\mathbb{Q}} = \varnothing.
  • N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
  • لكل عدد حقيقي نقطة وحيدة على خط الأعداد والعكس صحيح.
  • n\sqrt{n} نسبي إذا كان nn مربعًا كاملًا، وغير نسبي إذا لم يكن كذلك.

ملخص الدرس

العدد النسبي يمكن كتابته في صورة ab\frac{a}{b} حيث a,ba, b عددان صحيحان و b≠0b \neq 0، أما العدد غير النسبي فلا يمكن كتابته بهذه الصورة وتمثيله العشري غير منتهٍ وغير دوري، مثل 2\sqrt{2} و π\pi. مجموعة الأعداد الحقيقية هي اتحاد المجموعتين، ولكل عدد حقيقي نقطة وحيدة على خط الأعداد، ويمكن ترتيب الأعداد الحقيقية بالاستعانة بقيمها التقريبية.

أسئلة للتدريب

  • صنّف الأعداد التالية إلى نسبية وغير نسبية: 16,10,0.7‾,−3,π\sqrt{16}, \sqrt{10}, 0.\overline{7}, -3, \pi.
  • هل كل عدد صحيح هو عدد نسبي؟ وهل كل عدد نسبي هو عدد صحيح؟ علل إجابتك.
  • رتب تنازليًا الأعداد: 3,1.8,−2,0\sqrt{3}, 1.8, -\sqrt{2}, 0.
  • اذكر عددين غير نسبيين يقعان بين العددين 22 و 33.
  • هل يمكن أن يكون حاصل جمع عددين غير نسبيين عددًا نسبيًا؟ اذكر مثالًا.
  • أوجد مجموعة الحل في R\mathbb{R} للمعادلة x3−1=26x^3 - 1 = 26، ثم للمعادلة x2+9=0x^2 + 9 = 0.
حلّ أسئلة هذا الدرساختبر فهمك بأسئلة اختيار من متعدد وأسئلة مقالية مع نموذج إجابة، أو خض اختبارًا تفاعليًا سريعًا
أبلغ عن خطأ في هذا الدرس

دروس ذات صلة