ملخص التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثانية: الجبر

تعلمت في الصف الأول الإعدادي ضرب حد جبري في مقدار باستخدام خاصية التوزيع، مثل $3x(x + 2) = 3x^2 + 6x$ . في هذه الوحدة نسير في الاتجاه العكسي: نبدأ بالمقدار ونبحث عن العوامل التي حاصل ضربها يساويه. وأبسط طرق التحليل هي إخراج العامل المشترك الأكبر.

أهداف التعلم

أن يوضح الطالب معنى تحليل المقدار الجبري إلى عوامله.
أن يوجد الطالب العامل المشترك الأكبر (العددي والحرفي) بين حدود مقدار جبري.
أن يحلل الطالب مقدارًا جبريًا بإخراج العامل المشترك الأكبر.
أن يتحقق الطالب من صحة التحليل بضرب العوامل الناتجة.

شرح الدرس

معنى التحليل

تحليل المقدار الجبري هو عملية عكسية لعملية الضرب، حيث نُعبِّر عن المقدار الجبري في صورة حاصل ضرب عاملين أو أكثر. فإذا كان $a(b+c) = ab + ac$ هو فك القوس، فإن التحليل هو العملية العكسية:

ab + ac = a(b + c)

العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ)

العامل المشترك الأكبر بين حدين أو أكثر هو أكبر مقدار (عددي وحرفي) يقسم كل الحدود بدون باقٍ. ولإيجاده نتبع الخطوات التالية:

العامل العددي المشترك الأكبر: أكبر عدد يقسم جميع المعاملات العددية للحدود (باستخدام التحليل إلى عوامل أولية أو القاسم المشترك الأكبر).
العامل الحرفي المشترك: لكل متغير مشترك بين الحدود، يؤخذ بأقل أس (قوة) ظهر به في جميع الحدود.

فمثلًا العامل المشترك الأكبر بين $12x^3y^2$ و $18x^2y^3$ هو: العددي $= 6$ (ق.م.أ للعددين 12، 18)، والحرفي $= x^2 y^2$ (أقل أس لـ $x$ هو 2، وأقل أس لـ $y$ هو 2)، إذن ع.م.أ $= 6x^2y^2$ .

خطوات التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر

نوجد العامل المشترك الأكبر بين جميع حدود المقدار الجبري.
نقسم كل حد من حدود المقدار على العامل المشترك الأكبر.
نكتب المقدار في صورة: العامل المشترك الأكبر $\times$ (ناتج القسمة داخل قوس).

ab + ac + ad = a(b + c + d)

التحقق من صحة التحليل

للتأكد من صحة التحليل، نضرب العامل المشترك في المقدار الموجود داخل القوس، فإذا حصلنا على المقدار الأصلي، يكون التحليل صحيحًا.

تحليل المقادير ذات الحدود السالبة

عند وجود إشارة سالبة في الحد الأول أو في جميع الحدود، يفضَّل أحيانًا إخراج عامل مشترك سالب لتبسيط الإشارات داخل القوس:

-2x^2 - 4x = -2x(x + 2)

تحليل عامل مشترك مركب (قوس مشترك)

قد يكون العامل المشترك نفسه قوسًا كاملًا وليس حدًا مفردًا:

x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)

وهذا النوع يُمهّد لطرق تحليل أخرى مثل التحليل بالتقسيم التي سندرسها لاحقًا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حلل المقدار $15x^2 + 25x$ .

الحل: العامل العددي المشترك الأكبر بين 15 و25 هو 5، والعامل الحرفي المشترك هو $x$ (أقل أس)، إذن ع.م.أ $= 5x$ :

15x^2 + 25x = 5x(3x + 5)

التحقق: $5x \times 3x = 15x^2$ و $5x \times 5 = 25x$ . صحيح.

مثال 2: حلل المقدار $8a^3b^2 - 12a^2b^3 + 4a^2b^2$ .

الحل: ع.م.أ العددي = 4 (ق.م.أ لـ 8، 12، 4)، والحرفي = $a^2b^2$ (أقل أس لـ $a$ هو 2، ولـ $b$ هو 2):

8a^3b^2 - 12a^2b^3 + 4a^2b^2 = 4a^2b^2(2a - 3b + 1)

مثال 3: حلل المقدار $x(y+3) - 2(y+3)$ .

الحل: العامل المشترك هنا هو القوس $(y+3)$ :

x(y+3) - 2(y+3) = (y+3)(x-2)

مثال 4 (حساب ذهني): احسب $37 \times 13 + 37 \times 7$ دون إجراء عمليتي الضرب.

الحل: العدد $37$ عامل مشترك بين الحدين:

37 \times 13 + 37 \times 7 = 37(13 + 7) = 37 \times 20 = 740

ملاحظات مهمة

يجب إخراج العامل المشترك الأكبر كاملًا؛ فكتابة $4x^2 + 8x = 2x(2x + 4)$ صحيحة جبريًا لكنها تحليل غير تام، لأن القوس ما زال فيه العامل المشترك $2$ . والتحليل التام هو $4x(x + 2)$ .
إذا كان أحد الحدود هو العامل المشترك نفسه، يبقى مكانه في القوس العدد $1$ وليس صفرًا: $5x + 5 = 5(x + 1)$ .

المفاهيم الأساسية

التحليل عملية عكسية للضرب: تحويل مجموع الحدود إلى حاصل ضرب عوامل.
العامل المشترك الأكبر = (ق.م.أ للمعاملات العددية) × (كل متغير مشترك بأقل أس ظهر به).
$ab + ac = a(b+c)$ : نقسم كل حد على العامل المشترك ونضعه خارج القوس.
يمكن التحقق من التحليل بضرب العامل في محتوى القوس فنحصل على المقدار الأصلي.
قد يكون العامل المشترك قوسًا كاملًا كما في $x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)$ .

ملخص الدرس

تحليل المقدار الجبري هو كتابته في صورة حاصل ضرب عوامل، وهو عملية عكسية لفك الأقواس. نوجد العامل المشترك الأكبر بأخذ القاسم المشترك الأكبر للمعاملات، وكل متغير مشترك بأقل أس ظهر به، ثم نقسم كل حد عليه ونكتب الناتج داخل قوس. وقد يكون العامل المشترك قوسًا كاملًا، ونتحقق من التحليل دائمًا بالضرب.

أسئلة للتدريب

حلل المقدار $18x^3 - 27x^2$ .
حلل المقدار $10a^2b + 15ab^2 - 5ab$ .
حلل المقدار $6xy^2 - 9x^2y + 12xy$ .
حلل المقدار $m(n-4) + 5(n-4)$ .
تحقق من صحة التحليل: هل $12x^2y - 8xy = 4xy(3x - 2)$ ؟ وضح خطوات التحقق.
احسب ذهنيًا باستخدام العامل المشترك: $48 \times 17 - 48 \times 7$ .