ملخص تحليل ثلاثية الحدود — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثانية: الجبر

في الصف الأول الإعدادي ضربنا مقدارين مثل $(x + 3)(x + 4)$ فحصلنا على ثلاثية حدود $x^2 + 7x + 12$ . يعلّمنا هذا الدرس السير في الاتجاه المعاكس: كيف نبدأ بثلاثية الحدود ونصل إلى العاملين اللذين حاصل ضربهما يساويها.

أهداف التعلم

أن يتعرف الطالب على مفهوم ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.
أن يحلل الطالب ثلاثية الحدود من الصورة $x^2 + bx + c$ إلى حاصل ضرب حدين.
أن يحلل الطالب ثلاثية الحدود من الصورة $ax^2 + bx + c$ حيث $a \neq 1$ .
أن يتحقق الطالب من صحة تحليل ثلاثية الحدود بضرب العاملين الناتجين.

شرح الدرس

مفهوم ثلاثية الحدود

ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية هي مقدار جبري من الصورة $ax^2 + bx + c$ حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية و $a \neq 0$ . والهدف من تحليلها هو كتابتها في صورة حاصل ضرب حدين من الدرجة الأولى.

تحليل الصورة $x^2 + bx + c$

عندما يكون معامل $x^2$ يساوي 1، فإن تحليل $x^2 + bx + c$ يتم بالبحث عن عددين $m, n$ بحيث:

m \times n = c \qquad \text{و} \qquad m + n = b

وحينئذ يكون التحليل:

x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)

كيفية اختيار $m, n$ :

إذا كان $c$ موجبًا و $b$ موجبًا: كلا العددين موجب.
إذا كان $c$ موجبًا و $b$ سالبًا: كلا العددين سالب.
إذا كان $c$ سالبًا: أحد العددين موجب والآخر سالب، والأكبر منهما في القيمة المطلقة تكون إشارته كإشارة $b$ .

تحليل الصورة $ax^2 + bx + c$ حيث $a \neq 1$

تُستخدم طريقة تفكيك الحد الأوسط ثم التجميع:

نضرب $a \times c$ .
نبحث عن عددين $m, n$ حاصل ضربهما $a \times c$ ومجموعهما $b$ .
نعيد كتابة الحد الأوسط $bx$ في صورة $mx + nx$ .
نحلل الحدود الأربعة الناتجة بالتقسيم (تجميعها في مجموعتين وإخراج عامل مشترك من كل مجموعة).

ax^2 + bx + c = ax^2 + mx + nx + c

ثم نُحلل بالتقسيم كما سيرد بالتفصيل في الدرس عن التحليل بالتقسيم.

التحقق من صحة التحليل

يمكن التأكد من صحة تحليل ثلاثية الحدود بضرب الحدين الناتجين (باستخدام خاصية التوزيع) والتأكد من الحصول على ثلاثية الحدود الأصلية.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حلل $x^2 + 7x + 12$ .

الحل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما 7: العددان هما 3 و 4 (لأن $3 \times 4 = 12$ و $3+4=7$ ):

x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)

مثال 2: حلل $x^2 - 2x - 15$ .

الحل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما $-15$ ومجموعهما $-2$ : العددان هما $-5$ و $3$ (لأن $-5 \times 3 = -15$ و $-5+3=-2$ ):

x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)

مثال 3: حلل $2x^2 + 7x + 3$ .

الحل: $a \times c = 2 \times 3 = 6$ . نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 7: العددان هما 6 و 1:

2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(2x+1)

مثال 4: حلل $x^2 - 8x + 15$ .

الحل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما $15$ (موجب) ومجموعهما $-8$ (سالب)، فيكون العددان سالبين: $-3$ و $-5$ .

x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)

مثال 5: حلل $3x^2 - 5x - 2$ .

الحل: $a \times c = 3 \times (-2) = -6$ . العددان اللذان حاصل ضربهما $-6$ ومجموعهما $-5$ هما $-6$ و $1$ :

3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x - 2) + 1(x - 2) = (x - 2)(3x + 1)

للتحقق: $(x - 2)(3x + 1) = 3x^2 + x - 6x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$ .

ملاحظات مهمة

ابدأ دائمًا بإخراج العامل المشترك إن وُجد: $2x^2 + 10x + 12 = 2(x^2 + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3)$ .
ليست كل ثلاثية حدود قابلة للتحليل بأعداد صحيحة؛ فالمقدار $x^2 + x + 1$ مثلًا لا يوجد عددان صحيحان حاصل ضربهما $1$ ومجموعهما $1$ .

المفاهيم الأساسية

$x^2 + bx + c = (x+m)(x+n)$ حيث $mn = c$ و $m+n = b$ .
لتحليل $ax^2+bx+c$ حيث $a \neq 1$ ، نبحث عن عددين حاصل ضربهما $a \times c$ ومجموعهما $b$ .
إشارة $c$ تحدد إن كان العددان $m, n$ متفقين أو مختلفين في الإشارة.
يمكن التحقق من التحليل بضرب العاملين الناتجين والمقارنة بثلاثية الحدود الأصلية.

ملخص الدرس

لتحليل ثلاثية الحدود $x^2 + bx + c$ نبحث عن عددين حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ ، وتحدد إشارتا $b$ و $c$ إشارتي العددين. وعندما يكون معامل $x^2$ لا يساوي $1$ نبحث عن عددين حاصل ضربهما $a \times c$ ومجموعهما $b$ ، ونفكك بهما الحد الأوسط ثم نحلل بالتقسيم. ونتحقق من صحة التحليل بضرب العاملين.

أسئلة للتدريب

حلل $x^2 + 9x + 20$ .
حلل $x^2 - 5x - 24$ .
حلل $x^2 - 11x + 28$ .
حلل $3x^2 + 10x + 8$ .
تحقق من صحة التحليل $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$ بضرب الحدين.
حلل تحليلًا تامًا: $3x^2 - 3x - 18$ (تلميح: ابدأ بالعامل المشترك).