ملخص العمليات على الأعداد الحقيقية — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

تعلمت في الدرس الأول أن الأعداد الحقيقية تضم أعدادًا غير نسبية مثل $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ . فكيف نجمعها أو نضربها؟ هل $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ ؟ في هذا الدرس نتعلم كيف نجري العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية التي تحتوي على جذور، ونتعرف على خواص الجمع والضرب فيها.

أهداف التعلم

أن يميز الطالب الحدود الجذرية المتشابهة من غير المتشابهة.
أن يجمع الطالب الحدود الجذرية ويطرحها ويضربها.
أن يكتب الطالب عددًا في أبسط صورة بحيث يكون المقام عددًا صحيحًا.
أن يتعرف الطالب على خواص الجمع والضرب في الأعداد الحقيقية ويستخدمها.
أن يحل الطالب مشكلات حياتية باستخدام العمليات على الأعداد الحقيقية.

شرح الدرس

الحدود الجذرية المتشابهة

في الحد الجذري $3\sqrt{5}$ يسمى العدد $3$ معامل الجذر، والعدد $5$ المجذور (العدد أسفل علامة الجذر).

الحدود الجذرية المتشابهة هي حدود تحتوي على جذور لها نفس دليل الجذر ونفس المجذور:

متشابهة: $4\sqrt{3}$ و $-\sqrt{3}$ ، وكذلك $2\sqrt[3]{7}$ و $5\sqrt[3]{7}$ .
غير متشابهة: $2\sqrt{3}$ و $2\sqrt{5}$ (المجذور مختلف)، وكذلك $\sqrt{5}$ و $\sqrt[3]{5}$ (دليل الجذر مختلف).

جمع الحدود الجذرية وطرحها

نجمع الحدود الجذرية المتشابهة ونطرحها كما نجمع الحدود الجبرية المتشابهة: نجمع المعاملات ونُبقي الجذر كما هو، تمامًا مثل $5x - 2x = 3x$ :

5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5 - 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}

أما الحدود غير المتشابهة فلا تُجمع في حد واحد؛ فمثلًا $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$ ، ويبقى المقدار $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ كما هو.

ضرب الحدود الجذرية

نضرب المعامل في المعامل والجذر في الجذر، ونستخدم:

$\sqrt{x} \times \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$ لكل $x \geq 0$ .
$\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{x} = (\sqrt[3]{x})^3 = x$ لكل $x \in \mathbb{R}$ .

مثل: $2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} = (2 \times 3) \times (\sqrt{5})^2 = 6 \times 5 = 30$ .

وعند ضرب مقادير تحتوي على جذور نستخدم التوزيع والنواتج المعروفة:

(x + y)(x - y) = x^2 - y^2, \qquad (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

جعل المقام عددًا صحيحًا

إذا كان في المقام جذر تربيعي مثل $\sqrt{a}$ ، نضرب البسط والمقام كليهما في $\sqrt{a}$ ، فيصبح المقام $a$ :

\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

خواص العمليات على الأعداد الحقيقية

لأي أعداد حقيقية $a$ و $b$ و $c$ :

الخاصية	الجمع	الضرب
الانغلاق	$a + b \in \mathbb{R}$	$a \times b \in \mathbb{R}$
الإبدال	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
الدمج (التجميع)	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
المحايد	$0$ لأن $a + 0 = a$	$1$ لأن $a \times 1 = a$
المعكوس	المعكوس الجمعي $-a$ لأن $a + (-a) = 0$	المعكوس الضربي $\frac{1}{a}$ ( $a \neq 0$ ) لأن $a \times \frac{1}{a} = 1$

توزيع الضرب على الجمع: $a(b + c) = ab + ac$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد في أبسط صورة: $3\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + \sqrt{5}$ .

الحل: الحدود متشابهة: $(3 - 7 + 1)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$ .

مثال 2: اكتب كلًا مما يأتي في أبسط صورة بحيث يكون المقام عددًا صحيحًا: $\frac{-10}{\sqrt{5}}$ و $\frac{9}{2\sqrt{3}}$ .

الحل:

\frac{-10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{-10\sqrt{5}}{5} = -2\sqrt{5}, \qquad \frac{9}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

مثال 3: أوجد في أبسط صورة: $3\sqrt{2}\,(5 - \sqrt{2})$ و $(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$ و $(\sqrt{6} - 1)^2$ .

الحل:

3\sqrt{2}\,(5 - \sqrt{2}) = 15\sqrt{2} - 3 \times 2 = 15\sqrt{2} - 6

(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1

(\sqrt{6} - 1)^2 = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6}

مثال 4: إذا كان $x = 2\sqrt{3}$ و $y = \sqrt{3}$ ، فأوجد: $x + y$ ، $x \times y$ ، $x^2 - y^2$ .

الحل: $x + y = 3\sqrt{3}$ ، و $x \times y = 2 \times (\sqrt{3})^2 = 6$ ، و $x^2 - y^2 = 12 - 3 = 9$ .

مثال 5 (تطبيق حياتي): قطعة أرض مستطيلة بُعداها $(\sqrt{7} + 2)$ م و $(\sqrt{7} - 2)$ م، وقطعة مربعة طول ضلعها $\sqrt{7}$ م. أيهما أكبر مساحة؟ وأيهما أكبر محيطًا؟

الحل:

مساحة المستطيل $= (\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = 7 - 4 = 3$ م²، ومساحة المربع $= (\sqrt{7})^2 = 7$ م²، فالمربع أكبر مساحة.
محيط المستطيل $= 2[(\sqrt{7} + 2) + (\sqrt{7} - 2)] = 4\sqrt{7}$ م، ومحيط المربع $= 4\sqrt{7}$ م، فالمحيطان متساويان.

ملاحظات مهمة

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$ ؛ فمثلًا $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ بينما $\sqrt{25} = 5$ .
قد تصبح الحدود متشابهة بعد التبسيط، مثل $\sqrt{12} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ .
الطرح والقسمة لا يحققان خاصية الإبدال: $5 - 3 \neq 3 - 5$ .
الصفر ليس له معكوس ضربي.

المفاهيم الأساسية

الحدود الجذرية المتشابهة لها نفس دليل الجذر ونفس المجذور، وتُجمع بجمع معاملاتها.
$(\sqrt{x})^2 = x$ لكل $x \geq 0$ ، و $(\sqrt[3]{x})^3 = x$ لكل $x \in \mathbb{R}$ .
لجعل المقام $\sqrt{a}$ عددًا صحيحًا نضرب البسط والمقام في $\sqrt{a}$ .
الجمع والضرب في $\mathbb{R}$ يحققان الانغلاق والإبدال والدمج، ولهما محايد ومعكوس، والضرب يتوزع على الجمع.

ملخص الدرس

نجري العمليات على الأعداد الحقيقية التي تحتوي على جذور كما نجريها على الحدود الجبرية: نجمع الحدود الجذرية المتشابهة ونطرحها بجمع معاملاتها وطرحها، ونضربها باستخدام $(\sqrt{x})^2 = x$ والتوزيع والنواتج المعروفة، ونجعل المقام عددًا صحيحًا بضرب البسط والمقام في جذر المقام. وتحقق عمليتا الجمع والضرب في $\mathbb{R}$ خواص الانغلاق والإبدال والدمج والمحايد والمعكوس.

أسئلة للتدريب

أوجد في أبسط صورة: $4\sqrt{7} - 9\sqrt{7}$ ، و $-2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3}$ .
اكتب $\frac{14}{\sqrt{7}}$ في أبسط صورة بحيث يكون المقام عددًا صحيحًا.
أوجد ناتج: $(2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1)$ .
إذا كان $x = \sqrt{5} - 2$ و $y = \sqrt{5} + 2$ ، فأوجد $x \times y$ و $x + y$ .
ما المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي للعدد $\sqrt{2}$ ؟

مقدمة

أهداف التعلم

شرح الدرس

الحدود الجذرية المتشابهة

جمع الحدود الجذرية وطرحها

ضرب الحدود الجذرية

جعل المقام عددًا صحيحًا

خواص العمليات على الأعداد الحقيقية

أمثلة وتطبيقات

ملاحظات مهمة

المفاهيم الأساسية

ملخص الدرس

أسئلة للتدريب

دروس ذات صلة