أهداف التعلم

• أن يستنتج الطالب قوانين الضرب والقسمة للجذور التربيعية والتكعيبية.
• أن يبسّط الطالب الجذور التربيعية والتكعيبية إلى أبسط صورة.
• أن يجري الطالب عمليتي الجمع والطرح على الجذور المتشابهة.
• أن يرشّد الطالب مقامًا يحتوي على جذر تربيعي.

شرح الدرس

مفهوم الجذر التربيعي والجذر التكعيبي

الجذر التربيعي للعدد غير السالب $a$ هو العدد $x$ الذي يحقق $x^2 = a$، ويُرمز له بـ $\sqrt{a}$. أما الجذر التكعيبي للعدد $a$ (أي عدد حقيقي) فهو العدد $x$ الذي يحقق $x^3 = a$، ويُرمز له بـ $\sqrt[3]{a}$.

فمثلًا $\sqrt{25} = 5$ لأن $5^2 = 25$، و $\sqrt[3]{27} = 3$ لأن $3^3 = 27$، و $\sqrt[3]{-8} = -2$ لأن $(-2)^3 = -8$ (بخلاف الجذر التربيعي، فإن الجذر التكعيبي معرَّف للأعداد السالبة أيضًا).

قانون ضرب الجذور

لأي عددين غير سالبين $a, b$:

وبالمثل للجذر التكعيبي، ولأي عددين حقيقيين $a, b$:

قانون قسمة الجذور

لأي عددين $a \geq 0$، $b > 0$:

وبالمثل للجذر التكعيبي، حيث $b \neq 0$:

تبسيط الجذور

لتبسيط جذر تربيعي مثل $\sqrt{72}$، نبحث عن أكبر عامل في العدد يكون مربعًا كاملًا:

وبالمثل لتبسيط جذر تكعيبي مثل $\sqrt[3]{54}$ نبحث عن أكبر عامل مكعب كامل:

جمع وطرح الجذور المتشابهة

تُسمى الجذور متشابهة إذا كانت من نفس الرتبة ولها نفس العدد تحت الجذر بعد التبسيط. ويمكن جمعها أو طرحها بجمع أو طرح المعاملات مع بقاء الجذر كما هو، تمامًا كجمع الحدود المتشابهة في الجبر:

فمثلًا $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$، أما $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ فلا يمكن جمعهما لأنهما غير متشابهين.

تنبيه: أحيانًا تبدو الجذور غير متشابهة ظاهريًا لكنها تصبح متشابهة بعد التبسيط، مثل:

ترشيد المقام

ترشيد المقام هو التخلص من الجذر الموجود في المقام بضرب البسط والمقام في مقدار مناسب:

فمثلًا لترشيد $\frac{3}{\sqrt{5}}$:

أسئلة للتدريب

• بسّط الجذور التالية: $\sqrt{98}$، $\sqrt[3]{16}$، $\sqrt{125}$.
• احسب ناتج $\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{5}$.
• احسب ناتج $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$ ثم تحقق من الناتج بتربيعه.
• رشّد مقام الكسر $\frac{6}{\sqrt{3}}$.
• احسب ناتج $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81}$ بعد تبسيط كل حد.
• مربع مساحته $72 \text{ سم}^2$. أوجد طول ضلعه في أبسط صورة جذرية.
• رشّد مقام الكسر $\frac{4}{\sqrt{8}}$ ثم بسّط الناتج.