ملخص نظرية فيثاغورس وعكسها — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثالثة: الهندسة

يحتاج البنّاء إلى التأكد من أن أركان الغرفة قائمة، ويحتاج عامل الإطفاء إلى معرفة طول السلم اللازم للوصول إلى نافذة مرتفعة. تحل نظرية فيثاغورس مثل هذه المسائل، لأنها تربط أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية بعلاقة ثابتة.

أهداف التعلم

أن ينص الطالب على نظرية فيثاغورس ويوضح العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية.
أن يستخدم الطالب نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية.
أن ينص الطالب على عكس نظرية فيثاغورس ويستخدمه لتحديد نوع المثلث.
أن يطبق الطالب النظرية وعكسها في حل مسائل حياتية وهندسية.

شرح الدرس

نص نظرية فيثاغورس

في أي مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث) مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

إذا كان المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $B$ ، والوتر هو $AC$ ، فإن:

AC^2 = AB^2 + BC^2

وبصفة عامة، إذا كان $c$ طول الوتر، و $a, b$ طولا الضلعين الآخرين في مثلث قائم الزاوية:

c^2 = a^2 + b^2

استخدام النظرية لإيجاد ضلع مجهول

يمكن استخدام النظرية لإيجاد طول أي ضلع مجهول إذا عُرف طولا الضلعين الآخرين:

لإيجاد الوتر: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
لإيجاد أحد الضلعين القائمين: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

الثلاثيات الفيثاغورية

هي مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة $(a, b, c)$ تحقق العلاقة $a^2+b^2=c^2$ ، ومن أشهرها:

(3, 4, 5), \quad (6, 8, 10), \quad (5, 12, 13), \quad (8, 15, 17)

وتُستخدم هذه الثلاثيات كأداة سريعة للتحقق من قيام الزاوية دون حساب مطول.

عكس نظرية فيثاغورس

عكس النظرية يُستخدم لتحديد ما إذا كان مثلث معلوم أطوال أضلاعه الثلاثة قائم الزاوية أم لا، وينص على:

إذا كان في مثلث $ABC$ ، مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، أي:

c^2 = a^2 + b^2

فإن المثلث قائم الزاوية، وتكون الزاوية القائمة مقابلة لأطول ضلع (الوتر).

تحديد نوع المثلث من أطوال أضلاعه

باستخدام عكس النظرية يمكن تعميم القاعدة لتحديد نوع المثلث (حاد، قائم، منفرج الزوايا) بمقارنة مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين، حيث $c$ أطول ضلع:

إذا كان $c^2 = a^2 + b^2$ : المثلث قائم الزاوية.
إذا كان $c^2 < a^2 + b^2$ : المثلث حاد الزوايا.
إذا كان $c^2 > a^2 + b^2$ : المثلث منفرج الزاوية.

تطبيقات عملية

تُستخدم نظرية فيثاغورس في حساب المسافات والأطوال في الحياة العملية، مثل إيجاد طول سلم مائل مستند إلى حائط، أو حساب المسافة المباشرة بين نقطتين تفصل بينهما إحداثيات أفقية ورأسية، أو التأكد من استقامة زوايا قائمة في البناء.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $B$ ، إذا كان $AB=6$ سم و $BC=8$ سم، أوجد طول الوتر $AC$ .

الحل:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36+64=100

AC = \sqrt{100} = 10 \text{ سم}

مثال 2: مثلث قائم الزاوية طول وتره 13سم وأحد ضلعيه 5سم، أوجد طول الضلع الآخر.

الحل:

13^2 = 5^2 + b^2 \implies 169 = 25 + b^2 \implies b^2 = 144 \implies b = 12 \text{ سم}

مثال 3: حدد نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه 7سم، 8سم، 12سم.

الحل: أطول ضلع هو 12، نقارن:

12^2 = 144, \qquad 7^2+8^2 = 49+64=113

بما أن $144 > 113$ ، إذن المثلث منفرج الزاوية.

مثال 4: شاشة مستطيلة الشكل عرضها $48$ سم وارتفاعها $36$ سم. أوجد طول قطرها.

الحل: القطر وتر في مثلث قائم ضلعاه القائمان هما العرض والارتفاع:

d^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 \Longrightarrow d = 60 \text{ سم}

لاحظ أن $(36, 48, 60)$ هي الثلاثية $(3, 4, 5)$ مضروبة في $12$ .

مثال 5: هل المثلث الذي أطوال أضلاعه $8$ سم و $15$ سم و $17$ سم قائم الزاوية؟

الحل: أطول ضلع $17$ :

17^2 = 289, \qquad 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

العددان متساويان، إذن المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة تقابل الضلع الذي طوله $17$ سم.

ملاحظات مهمة

حدد الوتر أولًا؛ فهو دائمًا أطول أضلاع المثلث القائم ويقابل الزاوية القائمة. ومن الأخطاء الشائعة جمع مربع الوتر مع مربع ضلع آخر.
نظرية فيثاغورس خاصة بالمثلث القائم الزاوية، ولا تُطبق مباشرة على غيره.
إذا ضُربت أطوال ثلاثية فيثاغورية في عدد موجب نحصل على ثلاثية تحقق العلاقة نفسها، مثل $(6, 8, 10)$ من $(3, 4, 5)$ .

المفاهيم الأساسية

في المثلث القائم الزاوية: مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، أي $c^2 = a^2 + b^2$ حيث $c$ طول الوتر.
الوتر هو أطول ضلع في المثلث ويقابل الزاوية القائمة.
الثلاثيات الفيثاغورية مثل $(3,4,5)$ تحقق $a^2+b^2=c^2$ .
عكس النظرية: إذا تحقق $c^2=a^2+b^2$ في مثلث، فهو قائم الزاوية عند الزاوية المقابلة لـ $c$ .
مقارنة $c^2$ بـ $a^2+b^2$ تحدد نوع المثلث: قائم، حاد، أو منفرج.

ملخص الدرس

في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ويمكن بهذه العلاقة إيجاد أي ضلع مجهول إذا عُلم الضلعان الآخران. وعكس النظرية يحدد ما إذا كان المثلث قائمًا: إذا كان مربع أطول ضلع مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية، وإذا كان أصغر منه فهو حاد الزوايا، وإذا كان أكبر منه فهو منفرج الزاوية.

أسئلة للتدريب

مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه القائمين 9سم و 12سم، أوجد طول الوتر.
سلم طوله 5 أمتار مستند إلى حائط، وقاعدته تبعد 3 أمتار عن الحائط، أوجد الارتفاع الذي يصل إليه السلم على الحائط.
تحقق: هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 9سم، 12سم، 15سم قائم الزاوية؟
حدد نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه 5سم، 6سم، 7سم (حاد أم قائم أم منفرج).
اذكر ثلاثية فيثاغورية غير المذكورة في الدرس، وتحقق من صحتها حسابيًا.