أهداف التعلم

• أن يتعرف الطالب على العلاقة بين أطوال أجزاء القواطع المحصورة بين مستقيمات متوازية.
• أن يستخدم الطالب الشعاع المرسوم من منتصف أحد أضلاع مثلث موازيًا أحد الضلعين الآخرين.
• أن يتعرف الطالب على القطعة المتوسطة في المثلث وعلاقتها بالضلع الثالث.
• أن يحل الطالب مسائل هندسية وحياتية باستخدام تطبيقات التوازي.

شرح الدرس

تذكّر: خواص التوازي

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فإن:

• كل زاويتين متبادلتين متساويتان في القياس.
• كل زاويتين متناظرتين متساويتان في القياس.
• كل زاويتين داخلتين في جهة واحدة من القاطع متكاملتان (مجموع قياسيهما $180°$).

والعكس صحيح: إذا تحقق أي من ذلك كان المستقيمان متوازيين.

أولًا: أجزاء القواطع المحصورة بين مستقيمات متوازية

نظرية (1): إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية، وكانت أجزاء هذا القاطع المحصورة بينها متساوية في الطول، فإن الأجزاء المحصورة بينها لأي قاطع آخر تكون متساوية في الطول أيضًا.

فإذا كانت $\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3 \parallel \ell_4$، وقطعها المستقيم $t_1$ في $A, B, C, D$ بحيث $AB = BC = CD$، وقطعها مستقيم آخر $t_2$ في $E, F, G, H$، فإن:

لاحظ أن أجزاء القاطع الثاني تتساوى فيما بينها، لكنها لا تساوي بالضرورة أجزاء القاطع الأول.

ثانيًا: الشعاع المرسوم من منتصف ضلع موازيًا ضلعًا آخر

نظرية (2): الشعاع المرسوم من منتصف ضلع في مثلث موازيًا أحد الضلعين الآخرين ينصف الضلع الثالث.

فإذا كانت $D$ منتصف $\overline{AB}$ في المثلث $ABC$، ورُسم $\overrightarrow{DE} \parallel \overline{BC}$ ويقطع $\overline{AC}$ في $E$، فإن $E$ منتصف $\overline{AC}$، أي $AE = EC$.

فكرة البرهان: نرسم من $A$ مستقيمًا يوازي $\overline{BC}$، فتصبح لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع $\overline{AB}$ بجزأين متساويين ($AD = DB$)، فحسب النظرية (1) تقطع $\overline{AC}$ بجزأين متساويين.

ثالثًا: القطعة المتوسطة في المثلث

القطعة المتوسطة في المثلث هي القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفي ضلعين فيه. ولكل مثلث ثلاث قطع متوسطة.

نظرية (3): القطعة المتوسطة المرسومة بين منتصفي أي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصف طول هذا الضلع.

فإذا كانت $D$ منتصف $\overline{AB}$ و $E$ منتصف $\overline{AC}$ في المثلث $ABC$، فإن:

انتبه للفرق: القطعة المتوسطة تصل بين منتصفي ضلعين، أما متوسط المثلث (الدرس التالي) فيصل بين رأس ومنتصف الضلع المقابل.

أسئلة للتدريب

1. في المثلث $XYZ$، $M$ و $N$ منتصفا $\overline{XY}$ و $\overline{XZ}$، و $MN = 9$ سم. أوجد $YZ$.
2. في المثلث $ABC$، $D$ منتصف $\overline{AB}$، و $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ويقطع $\overline{AC}$ في $E$. إذا كان $AE = 4$ سم، فأوجد $AC$.
3. ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعًا في جزأين طولاهما $6$ سم و $6$ سم، وتقطع قاطعًا آخر في جزأين طولاهما $2x$ و $x + 3$. أوجد $x$.
4. مثلث محيطه $36$ سم. أوجد محيط المثلث الناتج من توصيل منتصفات أضلاعه.
5. ما الفرق بين القطعة المتوسطة في المثلث ومتوسط المثلث؟