أهداف التعلم

• أن يميز الطالب بين الزاوية الداخلة والزاوية الخارجة للمضلع.
• أن يستنتج الطالب قانون مجموع قياسات الزوايا الداخلة لمضلع محدب عدد أضلاعه $n$.
• أن يستنتج الطالب أن مجموع قياسات الزوايا الخارجة لأي مضلع محدب يساوي $360°$.
• أن يحسب الطالب قياس الزاوية الداخلة والزاوية الخارجة في المضلع المنتظم.

شرح الدرس

تعريف الزاوية الداخلة والزاوية الخارجة

الزاوية الداخلة للمضلع هي الزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين من داخل المضلع عند أحد رؤوسه.

الزاوية الخارجة هي الزاوية المكوَّنة بين أحد أضلاع المضلع وامتداد الضلع المجاور له، وتقع خارج المضلع. ولكل رأس زاوية داخلة وزاوية خارجة متجاورتان تكونان معًا زاوية مستقيمة، أي أن:

مجموع الزوايا الداخلة لمضلع محدب

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الداخلة لمضلع محدب عدد أضلاعه $n$ يُعطى بالقانون:

ويمكن استنتاج هذا القانون بتقسيم المضلع إلى مثلثات بواسطة أقطار تُرسم من رأس واحد؛ فعدد المثلثات الناتجة يساوي دائمًا $(n-2)$، ومجموع زوايا كل مثلث $180°$.

فمثلًا:

• المثلث ($n=3$): $(3-2)\times180° = 180°$.
• الرباعي ($n=4$): $(4-2)\times180° = 360°$.
• الخماسي ($n=5$): $(5-2)\times180° = 540°$.
• السداسي ($n=6$): $(6-2)\times180° = 720°$.

مجموع الزوايا الخارجة لمضلع محدب

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الخارجة لأي مضلع محدب (زاوية خارجة واحدة عند كل رأس) يساوي دائمًا:

بصرف النظر عن عدد أضلاع المضلع. ويمكن تخيل ذلك بأن السير حول محيط المضلع بالكامل يتضمن دورانًا إجماليًا مقداره $360°$ (دورة كاملة).

الزوايا في المضلع المنتظم

المضلع المنتظم هو مضلع متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا في آن واحد. وبما أن جميع زواياه الداخلة متساوية، يمكن حساب قياس كل زاوية داخلة بقسمة المجموع الكلي على عدد الأضلاع $n$:

وبالمثل، كل زاوية خارجة في المضلع المنتظم:

ويمكن أيضًا حساب الزاوية الداخلة من الزاوية الخارجة مباشرة باستخدام العلاقة:

إيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم من قياس زاويته

إذا عُلم قياس الزاوية الداخلة (أو الخارجة) لمضلع منتظم، يمكن إيجاد عدد أضلاعه $n$ بحل المعادلة الناتجة من القوانين السابقة، وأسهلها استخدام قانون الزاوية الخارجة:

أسئلة للتدريب

• أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلة لمضلع محدب عدد أضلاعه 12.
• أوجد قياس الزاوية الداخلة في المضلع المنتظم السباعي (7 أضلاع) لأقرب جزء من مئة.
• مضلع منتظم قياس زاويته الخارجة $24°$، أوجد عدد أضلاعه وقياس زاويته الداخلة.
• إذا كان مجموع الزوايا الداخلة لمضلع محدب يساوي $1440°$، أوجد عدد أضلاعه.
• وضح لماذا يكون مجموع الزوايا الخارجة لأي مضلع محدب ثابتًا يساوي $360°$ بغض النظر عن عدد أضلاعه.