ملخص متوسطات المثلث — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثالثة: الهندسة

إذا قصصت مثلثًا من ورق مقوى وحاولت أن توازنه على طرف قلم، فستجد نقطة واحدة فقط يتزن عندها. هذه النقطة ترتبط بقطع مستقيمة خاصة داخل المثلث تسمى المتوسطات، وهي موضوع هذا الدرس.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب متوسط المثلث ويميزه عن الارتفاع والمنصف.
أن يوضح الطالب خاصية تلاقي متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة.
أن يستنتج الطالب النسبة التي تقسم بها نقطة التلاقي كل متوسط.
أن يحل الطالب مسائل عددية على متوسطات المثلث ونقطة توازنه.

شرح الدرس

تعريف متوسط المثلث

متوسط المثلث هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له. ولكل مثلث ثلاثة متوسطات، واحد من كل رأس.

فإذا كانت $D$ منتصف $BC$ في المثلث $ABC$ ، فإن $AD$ يسمى متوسط المثلث الخارج من الرأس $A$ . وبالمثل يوجد متوسط من $B$ إلى منتصف $AC$ ، ومتوسط من $C$ إلى منتصف $AB$ .

ملاحظة مهمة: يختلف المتوسط عن الارتفاع (العمودي من الرأس على الضلع المقابل) وعن منصف الزاوية، إلا في حالة المثلث متساوي الساقين حيث يتطابق المتوسط الخارج من رأس المثلث (بين الضلعين المتساويين) مع الارتفاع ومنصف الزاوية في ذلك الرأس.

تلاقي متوسطات المثلث

النظرية: متوسطات المثلث الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة داخل المثلث، تسمى نقطة توازن المثلث أو مركز ثقل المثلث.

هذه النقطة تقع دائمًا داخل المثلث بغض النظر عن نوعه (حاد أو قائم أو منفرج الزوايا)، وهي النقطة التي يتزن عندها المثلث لو كان قطعة صلبة منتظمة الكثافة.

النسبة التي تقسم بها نقطة التوازن كل متوسط

النظرية: تقسم نقطة توازن المثلث كل متوسط بنسبة $2:1$ من جهة الرأس إلى منتصف الضلع المقابل.

إذا كانت $G$ نقطة توازن المثلث $ABC$ ، و $AD$ أحد متوسطاته (حيث $D$ منتصف $BC$ )، فإن:

AG : GD = 2 : 1

وبالتالي:

AG = \frac{2}{3}AD \qquad \text{و} \qquad GD = \frac{1}{3}AD

وينطبق نفس المبدأ على باقي المتوسطات.

عكس النظرية: النقطة التي تقسم أحد متوسطات المثلث بنسبة $2:1$ من جهة الرأس هي نقطة تقاطع متوسطاته. وتُسمى هذه النقطة أيضًا المركز الهندسي للمثلث أو نقطة الاتزان.

المتوسط الخارج من رأس الزاوية القائمة

نظرية: طول المتوسط الخارج من رأس الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر.

فإذا كان المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ، و $\overline{AD}$ متوسطًا فيه ( $D$ منتصف الوتر $\overline{BC}$ )، فإن:

AD = \frac{1}{2}BC = BD = DC

فكرة البرهان: نكمل المثلث إلى مستطيل $ABEC$ ؛ قطرا المستطيل متساويان وينصف كل منهما الآخر، و $\overline{AD}$ نصف القطر $\overline{AE}$ بينما $\overline{BC}$ هو القطر الآخر.

عكس النظرية: إذا كان طول متوسط المثلث المرسوم من أحد رؤوسه يساوي نصف طول الضلع المقابل لهذا الرأس، فإن زاوية هذا الرأس تكون قائمة.

استنتاجات مهمة

نقطة توازن المثلث تبعد عن كل رأس بمقدار ثلثي طول المتوسط الخارج من ذلك الرأس.
نقطة توازن المثلث تبعد عن منتصف كل ضلع بمقدار ثلث طول المتوسط المقابل له.
في المثلث متساوي الأضلاع، تتطابق نقطة توازن المثلث مع مركز الدائرتين المحيطة والداخلة للمثلث.

المقارنة بين المتوسط والارتفاع ومنصف الزاوية

القطعة المستقيمة من الرأس $A$	تصل $A$ بـ	الخاصية المميزة
المتوسط	منتصف الضلع $BC$	تقسم $BC$ إلى جزأين متساويين
الارتفاع	نقطة على المستقيم $BC$	تكون عمودية على $BC$
منصف الزاوية	نقطة على $BC$	تقسم الزاوية $A$ إلى زاويتين متساويتين

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ ، $AD$ متوسط طوله 15سم، والنقطة $G$ نقطة توازن المثلث تقع على $AD$ . أوجد طولي $AG$ و $GD$ .

الحل:

AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}(15) = 10 \text{ سم}

GD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}(15) = 5 \text{ سم}

مثال 2: إذا كانت $G$ نقطة توازن المثلث $XYZ$ ، والمتوسط $XM$ (حيث $M$ منتصف $YZ$ )، وكان $XG = 8$ سم، أوجد طول $GM$ وطول المتوسط الكلي $XM$ .

الحل: بما أن $XG:GM = 2:1$ ، فإن $GM = \frac{XG}{2} = \frac{8}{2} = 4$ سم:

XM = XG + GM = 8 + 4 = 12 \text{ سم}

مثال 3: في المثلث $ABC$ ، $D$ منتصف $BC$ ، وطول $GD = 3.5$ سم حيث $G$ نقطة توازن المثلث. أوجد طول المتوسط $AD$ .

الحل: بما أن $GD = \frac{1}{3}AD$ :

AD = 3 \times GD = 3 \times 3.5 = 10.5 \text{ سم}

مثال 4: في المثلث $ABC$ ، $AD$ و $BE$ متوسطان يتقاطعان في $G$ . إذا كان $AD = 18$ سم و $BE = 15$ سم، أوجد $AG$ و $GE$ .

الحل:

AG = \frac{2}{3} \times 18 = 12 \text{ سم}, \qquad GE = \frac{1}{3} \times 15 = 5 \text{ سم}

مثال 5: المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $B$ ، و $\overline{BD}$ متوسط فيه طوله $6.5$ سم. أوجد طول $\overline{AC}$ .

الحل: $\overline{BD}$ متوسط خارج من رأس القائمة، إذن طوله نصف الوتر:

AC = 2 \times BD = 2 \times 6.5 = 13 \text{ سم}

مثال 6: في المثلث $ABC$ ، $\overline{AD}$ متوسط، و $AD = 10$ سم، و $BC = 20$ سم، و $AB = 12$ سم. أثبت أن $m(\angle BAC) = 90°$ ، ثم أوجد $AC$ .

الحل: $AD = \frac{1}{2}BC$ ، فحسب عكس النظرية تكون $m(\angle BAC) = 90°$ . ومن نظرية فيثاغورس:

AC^2 = BC^2 - AB^2 = 400 - 144 = 256 \Longrightarrow AC = 16 \text{ سم}

ملاحظات مهمة

النسبة $2:1$ تُقرأ من جهة الرأس؛ فالجزء الأطول من المتوسط هو الواقع بين الرأس ونقطة التلاقي.
يكفي رسم متوسطين فقط لتحديد نقطة تلاقي المتوسطات، لأن المتوسط الثالث يمر بالنقطة نفسها.

المفاهيم الأساسية

متوسط المثلث يصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل له.
متوسطات المثلث الثلاثة تتلاقى دائمًا في نقطة واحدة داخل المثلث تسمى نقطة توازن المثلث.
تقسم نقطة التوازن كل متوسط بنسبة $2:1$ من الرأس نحو منتصف الضلع المقابل.
$AG = \frac{2}{3}AD$ و $GD = \frac{1}{3}AD$ حيث $G$ نقطة التوازن و $D$ منتصف الضلع المقابل للرأس $A$ .
في المثلث القائم الزاوية: طول المتوسط الخارج من رأس القائمة يساوي نصف طول الوتر، والعكس صحيح.

ملخص الدرس

متوسط المثلث قطعة مستقيمة تصل بين رأس ومنتصف الضلع المقابل له، ولكل مثلث ثلاثة متوسطات تتلاقى في نقطة واحدة داخله تسمى نقطة تلاقي المتوسطات أو مركز ثقل المثلث. تقسم هذه النقطة كل متوسط بنسبة $2:1$ من جهة الرأس، فبعدها عن الرأس ثلثا طول المتوسط، وبعدها عن منتصف الضلع المقابل ثلثه.

أسئلة للتدريب

عرّف متوسط المثلث، ووضح الفرق بينه وبين ارتفاع المثلث.
إذا كان طول متوسط في مثلث يساوي 21سم، أوجد المسافة من الرأس إلى نقطة توازن المثلث، والمسافة من نقطة التوازن إلى منتصف الضلع المقابل.
في المثلث $ABC$ ، إذا كانت $G$ نقطة توازنه، و $BG = 6$ سم، أوجد طول المتوسط الكامل الخارج من $B$ .
وضح لماذا تتطابق المتوسطات مع الارتفاعات ومنصفات الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع.
ارسم مثلثًا وارسم متوسطاته الثلاثة، وتحقق عمليًا من تلاقيها في نقطة واحدة.
مثلث قائم الزاوية طول وتره $18$ سم. أوجد طول المتوسط الخارج من رأس القائمة.