أهداف التعلم

• أن يعرّف الطالب المثلث متساوي الساقين ويحدد عناصره (الساقان، القاعدة، رأس المثلث، الزاويتان القاعديتان).
• أن يستنتج الطالب خاصية تساوي الزاويتين القاعديتين في المثلث متساوي الساقين.
• أن يوضح الطالب خواص المتوسط الخارج من رأس المثلث متساوي الساقين.
• أن يستخدم الطالب عكس هذه الخواص لإثبات أن مثلثًا معينًا متساوي الساقين.
• أن يتعرف الطالب على محور تماثل القطعة المستقيمة ومحاور تماثل المثلث.
• أن يستخدم الطالب العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث الثلاثيني الستيني.

شرح الدرس

تعريف المثلث متساوي الساقين

المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول، يُسميان الساقين، والضلع الثالث يُسمى القاعدة. والزاوية المحصورة بين الساقين تسمى رأس المثلث أو زاوية الرأس، والزاويتان الواقعتان على القاعدة تسميان الزاويتين القاعديتين.

فإذا كان المثلث $ABC$ متساوي الساقين بحيث $AB = AC$، فإن $BC$ هي القاعدة، و $\angle A$ زاوية الرأس، و $\angle B, \angle C$ الزاويتان القاعديتان.

النظرية الأولى: تساوي الزاويتين القاعديتين

النظرية: في المثلث متساوي الساقين، تتساوى الزاويتان القاعديتان.

إذا كان $AB = AC$ في المثلث $ABC$، فإن:

عكس النظرية: إذا تساوت زاويتان في مثلث، كان الضلعان المقابلان لهما متساويين (أي أن المثلث متساوي الساقين).

وتُستخدم هذه النظرية وعكسها معًا لإثبات تساوي أضلاع أو زوايا في المسائل الهندسية.

النظرية الثانية: المتوسط الخارج من رأس المثلث متساوي الساقين

النظرية: المتوسط الخارج من رأس المثلث متساوي الساقين (إلى منتصف القاعدة) يكون:

• عموديًا على القاعدة.
• منصفًا لزاوية الرأس.

أي أنه في المثلث متساوي الساقين $ABC$ حيث $AB=AC$، إذا كانت $D$ منتصف $BC$، فإن $AD$ يحقق:

بمعنى آخر: المتوسط والارتفاع ومنصف زاوية الرأس يتطابقون جميعًا في مستقيم واحد في المثلث متساوي الساقين، وهذا يمثل محور تماثل المثلث.

عكس النظرية الثانية

إذا كان في مثلث، المستقيم الخارج من أحد رؤوسه عموديًا على الضلع المقابل ومنصفًا للزاوية في ذلك الرأس في آن واحد، أو كان منصفًا للضلع المقابل وعموديًا عليه، فإن المثلث متساوي الساقين وقمته عند ذلك الرأس.

الحالة الخاصة: المثلث متساوي الأضلاع

إذا تساوت أضلاع المثلث الثلاثة، فإنه يُعتبر متساوي الساقين بالنسبة لأي ضلع نختاره قاعدة، وبالتالي تتساوى زواياه الثلاث، وتكون كل زاوية منها تساوي $60°$ (لأن مجموع زوايا المثلث $180°$).

محور تماثل القطعة المستقيمة

محور تماثل القطعة المستقيمة هو المستقيم العمودي عليها من نقطة منتصفها. ومن نتائجه:

• أي نقطة تقع على محور تماثل قطعة مستقيمة تكون على بعدين متساويين من طرفيها.
• وعكسيًا: أي نقطة على بعدين متساويين من طرفي قطعة مستقيمة تقع على محور تماثلها.

محاور تماثل المثلث

محور تماثل المثلث المتساوي الساقين هو المستقيم المار برأسه عموديًا على قاعدته. وعدد محاور التماثل:

المثلث الثلاثيني الستيني

المثلث الثلاثيني الستيني مثلث قائم الزاوية قياسا زاويتيه الحادتين $30°$ و $60°$. وهو نصف مثلث متساوي الأضلاع يقسمه محور تماثله.

نتيجة: في المثلث الثلاثيني الستيني، طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها $30°$ يساوي نصف طول الوتر.

أسئلة للتدريب

• في المثلث $ABC$، $AB=AC$، إذا كانت $\angle A = 46°$، أوجد قياس كل من $\angle B$ و $\angle C$.
• مثلث متساوي الساقين طول قاعدته 10سم وطول المتوسط الخارج من رأسه 12سم، أوجد طول كل ساق باستخدام نظرية فيثاغورس.
• في مثلث $DEF$، إذا كانت $\angle D = \angle F = 63°$، بيّن أي الأضلاع متساوية، ثم أوجد قياس $\angle E$.
• مثلث متساوي الأضلاع، أوجد قياس كل زاوية من زواياه مع التوضيح.
• في المثلث متساوي الساقين $ABC$ حيث $AB=AC$، إذا كان الارتفاع من $A$ يلتقي $BC$ في $D$، أثبت أن $D$ منتصف $BC$.
• مثلث قائم الزاوية فيه زاوية قياسها $60°$ وطول وتره $20$ سم. أوجد طول الضلع المقابل للزاوية الأخرى الحادة.