أسئلة: المثلث المتساوي الساقين

الإجابة الصحيحة: مثلث له ضلعان متساويان في الطول يُسميان الساقين

المثلث متساوي الساقين هو الذي يحتوي على ضلعين متساويين في الطول يُعرفان بالساقين.

الإجابة الصحيحة: $\angle B$ و $\angle C$

بما أن $AB = AC$ فإن $BC$ هي القاعدة، والزاويتان الواقعتان عليها هما $\angle B$ و $\angle C$.

الإجابة الصحيحة: $50°$

في المثلث متساوي الساقين، تتساوى الزاويتان القاعديتان، إذن $\angle C = \angle B = 50°$.

الإجابة الصحيحة: $50°$

بما أن $\angle B = \angle C = 65°$، ومجموع زوايا المثلث $180°$، إذن $\angle A = 180° - 65° - 65° = 50°$.

الإجابة الصحيحة: متساويان في الطول

هذا هو عكس نظرية تساوي الزاويتين القاعديتين في المثلث متساوي الساقين.

الإجابة الصحيحة: عمودياً على القاعدة ومنصفاً لزاوية الرأس

المتوسط والارتفاع ومنصف زاوية الرأس يتطابقون جميعًا في المثلث متساوي الساقين.

الإجابة الصحيحة: $60°$

بأن أضلاع المثلث الثلاثة متساوية فتكون زواياه الثلاث متساوية أيضًا، وكل منها يساوي $180° \div 3 = 60°$.

الإجابة الصحيحة: $90°$

المتوسط الخارج من رأس المثلث متساوي الساقين يكون عموديًا على القاعدة، إذن قياس $\angle ADB = 90°$.

الإجابة الصحيحة: $70°$

مجموع زاويتي القاعدة = $180° - 40° = 140°$، وبما أنهما متساويتان فتكون كل منهما $140° \div 2 = 70°$.

الإجابة الصحيحة: $YZ = XZ$

الضلع المقابل للزاوية $X$ هو $YZ$ والضلع المقابل للزاوية $Y$ هو الزاوية $XZ$، وبما أن $\angle X = \angle Y$ فإن $YZ = XZ$.

الإجابة الصحيحة: متساوي الساقين

هذا هو عكس النظرية الثانية للمثلث متساوي الساقين.

الإجابة الصحيحة: $70°$

الزاويتان القاعديتان متساويتان (كل منهما $55°$). زاوية الرأس = $180° - (55° + 55°) = 180° - 110° = 70°$.

الإجابة الصحيحة: ثلاثة محاور

المثلث المتساوي الأضلاع متساوي الساقين بالنسبة لكل ضلع، فله ثلاثة محاور تماثل، بينما المتساوي الساقين له محور واحد.

الإجابة الصحيحة: 6 سم

$m(\angle C) = 30°$، والضلع $\overline{AB}$ يقابل الزاوية $C$، فطوله نصف الوتر: $6$ سم.

الإجابة الصحيحة: على بعدين متساويين من $A$ و $B$

من نتائج محور تماثل القطعة المستقيمة أن أي نقطة عليه تبعد بعدين متساويين عن طرفيها.

بما أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين وفيه $AB = AC$، إذن $\angle B = \angle C$. مجموع زوايا المثلث يساوي $180°$، إذن قياس $\angle B + \angle C = 180° - 46° = 134°$. وبما أنهما متساويتان، إذن $\angle B = \angle C = 134° \div 2 = 67°$.

المتوسط في المثلث متساوي الساقين يكون عمودياً على القاعدة وينصفها، إذن يقسّم القاعدة إلى جزأين متساويين طول كل منهما $12 \div 2 = 6$ سم. ينتج عن ذلك مثلث قائم الزاوية طول ضلعي القائمة فيه هما $8$ سم و $6$ سم. بتطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الساق (الوتر): $\text{الساق} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ سم.

بما أن $\angle D = \angle F$， فحسب عكس نظرية تساوي الزاويتين القاعديتين، يكون الضلعان المقابلان لهما متساويين، أي أن $EF = DE$. لإيجاد قياس $\angle E$: مجموع زوايا المثلث $180°$， إذن $\angle E = 180° - (63° + 63°) = 180° - 126° = 54°$.

بما أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين ($AB = AC$)، وحسب النظرية الثانية، فإن الارتفاع الخارج من رأس المثلث متساوي الساقين إلى القاعدة ينصف زاوية الرأس ويكون عمودياً عليها وفي نفس الوقت يمثل متوسطاً للمثلث. وبما أنه متوسط، فهو يصل من الرأس $D$ إلى منتصف القاعدة $BC$， إذن النقطة $D$ هي منتصف $BC$.

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة = الساق الأول + الساق الثاني + القاعدة. وبما أن المثلث متساوي الساقين، إذن طول الساقين متساوی. نفرض أن طول الساق هو $L$. إذن: $L + L + 10 = 36 \implies 2L + 10 = 36 \implies 2L = 26 \implies L = 13$ سم. إذن طول كل ساق يساوي $13$ سم.

بما أن المثلث متساوي الأضلاع، فإن أضلاعه الثلاثة متساوية، وبالتالي زواياه الثلاث متساوية في القياس. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي $180°$， إذن قياس كل زاوية = $180° \div 3 = 60°$. وبما أن الزاوية الخارجية عند أي رأس تكمل زاوية المثلث الداخلية على خط مستقيم ($180°$)، إذن قياس الزاوية الخارجية = $180° - 60° = 120°$.