أسئلة: تحليل الحالات الخاصة

الإجابة الصحيحة: $(x - 7)(x + 7)$

المقدار يمثل فرقًا بين مربعين، حيث $x^2$ و $49 = 7^2$ مربعان كاملان وبينهما طرح، إذن التحليل هو $(x-7)(x+7)$.

الإجابة الصحيحة: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

هذا مجموع مكعبين: $x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - (x)(2) + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

الإجابة الصحيحة: $(2x - 5)(2x + 5)$

المقدار فرق بين مربعين: $4x^2 = (2x)^2$ و $25 = 5^2$، إذن التحليل هو $(2x-5)(2x+5)$.

الإجابة الصحيحة: $(x - 3)^2$

ثلاثية حدود تمثل مربعًا كاملًا لأن الحد الأوسط $-6x = -2(x)(3)$ والطرفان مربعان كاملان، فتتحليل إلى $(x-3)^2$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 + 9$

مجموع مربعين $a^2 + b^2$ مثل $x^2 + 9$ لا يُحلل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

فرق مكعبين: $(2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

الإجابة الصحيحة: $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

فرق مكعبين: $x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + (x)(3) + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

الإجابة الصحيحة: $10$

الحد الأوسط في المربع الكامل يساوي $\pm 2(x)(5) = \pm 10x$، إذن القيمة لـ $k$ هي $10$ أو $-10$.

الإجابة الصحيحة: $(3x + 4)(9x^2 - 12x + 16)$

مجموع مكعبين: $(3x)^3 + 4^3 = (3x + 4)((3x)^2 - (3x)(4) + 4^2) = (3x + 4)(9x^2 - 12x + 16)$.

الإجابة الصحيحة: $(4x - 3y)(4x + 3y)$

فرق بين مربعين: $(4x)^2 - (3y)^2 = (4x - 3y)(4x + 3y)$.

1. نلاحظ أن المقدار يتكون من حدين بينهما إشارة طرح (-)، وكل منهما مربع كامل. 2. نجذر الحد الأول: $\sqrt{25x^2} = 5x$. 3. نجذر الحد الثاني: $\sqrt{49y^2} = 7y$. 4. نطبق قانون الفرق بين مربعين: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. 5. إذن الناتج هو: $(5x - 7y)(5x + 7y)$.

1. نفحص الحد الأول: $4x^2$ مربّع كامل جذره $2x$. 2. نفحص الحد الثالث: $9$ مربّع كامل جذره $3$. 3. نحسب الحد الأوسط وفق القاعدة: $2 \times (2x) \times (3) = 12x$. 4. بما أن الناتج يطابق الحد الأوسط تمامًا، إذن المقدار يمثل مربعًا كاملًا (مربع كامل). 5. نكتب التحليل بصيغة مربع مجموع حدين: $(2x + 3)^2$.

1. نلاحظ أن المقدار يتكون من مجموع مكعبين كاملين: $x^3$ و $27 = 3^3$. 2. نطبق قانون مجموع مكعبين: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. 3. نعوض بـ $a = x$ و $b = 3$: - القوس الأول: $(x + 3)$ - القوس الثاني: $(x^2 - (x)(3) + 3^2) = (x^2 - 3x + 9)$ 4. إذن التحليل النهائي هو: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

1. المقدار هو فرق بين مربعين: $16x^2 = (4x)^2$ و $1 = 1^2$. 2. نطبق قانون الفرق بين مربعين: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. 3. نعوض بالقيمة: $(4x)^2 - 1^2 = (4x - 1)(4x + 1)$.

1. المقدار هو فرق بين مكعبين: $(2x)^3 - 5^3$. 2. نطبق قانون فرق المكعبين: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. 3. التحليل هو: $(2x - 5)((2x)^2 + (2x)(5) + 5^2) = (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25)$. 4. للتحقق من الناتج، نضرب القوسين: $= 2x(4x^2 + 10x + 25) - 5(4x^2 + 10x + 25)$ $= 8x^3 + 20x^2 + 50x - 20x^2 - 50x - 125$ $= 8x^3 - 125$ (وهو المقدار الأصلي، إذن الحل صحيح).

1. المقدار $x^2 - 25$ هو "فرق" بين مربعين، ويمكن تحليله باستخدام القانون $(a - b)(a + b)$ لينتج $(x - 5)(x + 5)$؛ لأن حاصل ضرب أي عددين حقيقيين مختلفين الإشارة يعطي سالبًا. 2. أما المقدار $x^2 + 25$ فهو "مجموع" مربعين، ولو افترضنا تحليله إلى $(x + a)(x + b)$ لحدث تناقض مع الإشارات، إذ لا يوجد عدد حقيقي مربعه يعطي قيمة سالبة عند جمعه، وبالتالي مجموع المربعين لا يتحلل في مجموعة الأعداد الحقيقية.