أسئلة: الدالة العكسية

الإجابة الصحيحة: $f(x)=4x-1$

الدالة الخطية غير الثابتة تزايدية أو تناقصية دائمًا فهي أحادية؛ أما البقية فتعطي الناتج نفسه عند $x$ و$-x$.

الإجابة الصحيحة: أحادية

إذا قطع كل مستقيم أفقي المنحنى مرة واحدة على الأكثر كانت الدالة أحادية.

الإجابة الصحيحة: $\{(5,1),(8,2),(11,3)\}$

نبادل عنصري كل زوج مرتب.

الإجابة الصحيحة: $x-7$

$x=y+7$ ومنه $y=x-7$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x-2}{5}$

$x=5y+2$ ومنه $y=\frac{x-2}{5}$.

الإجابة الصحيحة: المستقيم $y=x$

كل نقطة $(a,b)$ تصبح $(b,a)$، وهذا انعكاس في المستقيم $y=x$.

الإجابة الصحيحة: $(-2,3)$

نبادل الإحداثيين.

الإجابة الصحيحة: $[0,8]$

مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية.

الإجابة الصحيحة: $2$

نبحث عن $a$ حيث $a^3-5=3$، أي $a^3=8$ و$a=2$.

الإجابة الصحيحة: $3x+4$

$x=\frac{y-4}{3}$ ومنه $3x=y-4$ و$y=3x+4$.

الإجابة الصحيحة: $6$

الدالة العكسية تلغي عمل الدالة، فتعيد المدخل الأصلي.

الإجابة الصحيحة: $[0,\infty)$

على $[0,\infty)$ تكون تزايدية فلا يتكرر فيها ناتج؛ أما الفترات الأخرى فتحتوي $x$ و$-x$ معًا.

الإجابة الصحيحة: $x^2-1$ حيث $x\ge0$

$x=\sqrt{y+1}$ فإن $y=x^2-1$، ومجال العكسية هو مدى $f$ أي $[0,\infty)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x}$

$x=\frac{1}{y}$ ومنه $y=\frac{1}{x}$؛ فالدالة عكسية نفسها ومنحناها متماثل حول $y=x$.

الإجابة الصحيحة: $f^{-1}(x)$ لا يساوي بالضرورة $\frac{1}{f(x)}$

الرمز $-1$ يدل على الدالة العكسية؛ فمثلًا إذا $f(x)=x+1$ فإن $f^{-1}(x)=x-1$ بينما $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x+1}$.

نضع $y=\frac{3x+1}{2}$ ونبادل: $x=\frac{3y+1}{2}$، إذن $2x=3y+1$ و$y=\frac{2x-1}{3}$. فتكون $f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{3}$. التحقق: $f\left(\frac{2x-1}{3}\right)=\frac{3\cdot\frac{2x-1}{3}+1}{2}=\frac{2x-1+1}{2}=x$.

$x=\frac{2}{y-3}$، إذن $x(y-3)=2$، أي $xy=2+3x$ و$y=\frac{3x+2}{x}$. فتكون $f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{x}$. مدى $f$ هو $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ لأن الكسر $\frac{2}{x-3}$ لا يساوي صفرًا، فمجال $f^{-1}$ هو $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

الدالة ليست أحادية؛ فمثلًا $f(-2)=f(2)=0$، ويقطع المستقيم الأفقي $y=0$ منحناها في نقطتين. عند تقييد المجال بـ $[0,\infty)$ تصبح تزايدية ومداها $[-4,\infty)$. $x=y^2-4$ ومع $y\ge0$ نجد $y=\sqrt{x+4}$. إذن $f^{-1}(x)=\sqrt{x+4}$ حيث $x\ge-4$.

$f^{-1}(x)=\frac{x+2}{2}$. منحنى $f$ مستقيم يمر بالنقطتين $(0,-2)$ و$(1,0)$، ومنحنى $f^{-1}$ يمر بالنقطتين $(-2,0)$ و$(0,1)$، وهما متماثلان حول $y=x$. نقطة التقاطع تقع على $y=x$: $2x-2=x$ فإن $x=2$، فالنقطة $(2,2)$.