أسئلة: إيجاد نهاية الدالة جبريًا

الإجابة الصحيحة: $7$

كثيرة حدود فنعوّض مباشرة: $9-6+4=7$.

الإجابة الصحيحة: $1$

المقام لا يساوي صفرًا عند 1، فنعوّض: $\frac{5}{5}=1$.

الإجابة الصحيحة: $10$

$\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5\to10$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$2(3)+(-4)=2$.

الإجابة الصحيحة: $-1$

$\frac{(x+2)(x+3)}{x+3}=x+2\to-1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{5}$

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+2}{x+3}\to\frac{4}{5}$.

الإجابة الصحيحة: $192$

$64=2^6$؛ بالنظرية: $6\times2^{5}=192$.

الإجابة الصحيحة: $5$

$x^5+1=x^5-(-1)^5$ و$x+1=x-(-1)$؛ بالنظرية: $5(-1)^4=5$.

الإجابة الصحيحة: $108$

بالنتيجة: $4\times3^{3}=108$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$\frac{n}{m}a^{n-m}=\frac{8}{4}\times1=2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{6}$

بالمرافق: $\frac{1}{\sqrt{x}+3}\to\frac{1}{6}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

بالمرافق: $\frac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $3$

$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}\to\frac{12}{4}=3$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{x+2}+3$

مرافق $\sqrt{A}-B$ هو $\sqrt{A}+B$، وحاصل ضربهما $A-B^2$.

الإجابة الصحيحة: $(x-a)$ عامل مشترك بين البسط والمقام

البسط والمقام ينعدمان عند $a$، فكلاهما يقبل القسمة على $(x-a)$.

بالتحليل: $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ و$x^2-9=(x-3)(x+3)$، فالنهاية $=\frac{9+9+9}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$. بالنظرية: $\frac{n}{m}a^{n-m}=\frac{3}{2}\times3^{1}=\frac{9}{2}$.

التعويض يعطي $\frac{0}{0}$. نضرب في المرافق $\sqrt{2x+1}+3$: البسط يصبح $(2x+1)-9=2(x-4)$. إذن الدالة $=\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}$ لكل $x\ne4$، والنهاية $\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}$.

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$، فالنهاية $=4+4+4=12$. بالنظرية: $x^3+8=x^3-(-2)^3$ و$x+2=x-(-2)$، فالنهاية $3(-2)^2=12$.

لكي تكون النهاية عددًا يجب أن يكون $2^n=32$ (وإلا كانت الصورة $\frac{k}{0}$)، إذن $n=5$. التحقق: $5\times2^4=80$.