أسئلة: العدد المركّب

الإجابة الصحيحة: $-1$

بقسمة 22 على 4، نجد أن الباقي هو 2، وبما أن $i^2 = -1$ فإن $i^{22} = -1$.

الإجابة الصحيحة: $-7$

الصورة القياسية للعدد المركّب هي $a+bi$، حيث $b$ هو الجزء التخيلي، لذا في $5-7i$ يكون الجزء التخيلي هو $-7$.

الإجابة الصحيحة: $6+2i$

نجمع الأجزاء الحقيقية: $2+4=6$، والأجزاء التخيلية: $3i-i=2i$.

الإجابة الصحيحة: $2$

هذا حاصل ضرب عدد في مرافقه: $1 - i^2 = 1 - (-1) = 2$، ويساوي أيضًا $a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2$.

الإجابة الصحيحة: $-3-2i$

المرافق $\bar{z}$ يُحصل عليه بتغيير إشارة الجزء التخيلي فقط.

الإجابة الصحيحة: $0$

بمساواة الجزأين الحقيقيين: $x - 2 = 3$ أي $x = 5$، وبمساواة الجزأين التخيليين: $y + 1 = -4$ أي $y = -5$، فيكون $x + y = 0$.

الإجابة الصحيحة: $a=0, b\neq0$

العدد التخيلي البحت لا يحتوي على جزء حقيقي، ويكون الجزء التخيلي غير صفري.

الإجابة الصحيحة: $2+6i$

نطرح الحقيقي: $5-3=2$، ونطرح التخيلي: $2i - (-4i) = 6i$.

الإجابة الصحيحة: $-i$

بما أن $i^{4n}=1$ فإن الناتج هو $i^3 = -i$.

الإجابة الصحيحة: $3+4i$

$4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

الإجابة الصحيحة: $-i$

بالضرب في $\frac{-i}{-i}$ نجد $\frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$.

الإجابة الصحيحة: $1+3i$

$(2+i)(1+i) = 2+2i+i+i^2 = 2+3i-1 = 1+3i$.

الإجابة الصحيحة: $\pm 7i$

$\sqrt{-49} = \sqrt{49}\,i = 7i$، والجذران التربيعيان هما $\pm 7i$ لأن $(7i)^2 = (-7i)^2 = 49i^2 = -49$.

الإجابة الصحيحة: $-6$

نكتب كلًّا منهما بدلالة $i$ أولًا: $(2i)(3i) = 6i^2 = -6$. والقاعدة $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ لا تصح عندما يكون العددان سالبين، لذلك الإجابة $6$ خاطئة.

الإجابة الصحيحة: $3 - i$

نضرب في مرافق المقام: $\frac{(4 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{4 - 4i + 2i - 2i^2}{2} = \frac{6 - 2i}{2} = 3 - i$.

أولاً نضرب: $(3+2i)(4-i) = 12 - 3i + 8i - 2i^2 = 12 + 5i + 2 = 14 + 5i$. ثم نطرح: $(14+5i) - (1+i) = 13 + 4i$.

نضرب في مرافق المقام $(3+2i)$: $\frac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{6+4i+3i+2i^2}{9+4} = \frac{6+7i-2}{13} = \frac{4+7i}{13} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$.

$\bar{z} = 4 + 3i$. المجموع $z + \bar{z} = 8$، والضرب $z \cdot \bar{z} = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25$. نلاحظ أن مجموع العدد ومرافقه وحاصل ضربهما عددان حقيقيان.

$x^2 = -9$، إذن $x = \pm \sqrt{-9} = \pm 3\sqrt{-1} = \pm 3i$.

$(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i$. إذن $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$.

$i^3 = -i$، إذن $z = \frac{1}{-i}$. بالضرب في $i/i$ نجد $z = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. الصورة القياسية هي $0+1i$.