أسئلة: علاقات التكرار والاستقراء

الإجابة الصحيحة: تعرّف كل حد في المتتابعة بدلالة حد أو أكثر من الحدود السابقة له.

العلاقة التكرارية تعرّف كل حد بدلالة الحدود التي تسبقه، على عكس صيغة الحد العام الصريحة التي تعرّفه بدلالة $n$ مباشرة.

الإجابة الصحيحة: 8

الحدود هي: $a_1=2$، $a_2=a_1+3=2+3=5$، $a_3=a_2+3=5+3=8$.

الإجابة الصحيحة: $a_n = 3n-1$

هذه متتابعة حسابية حدها الأول $a_1=2$ وأساسها $d=3$. صيغة الحد العام الصريح هي $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2+3n-3 = 3n-1$.

الإجابة الصحيحة: 5

الحدود هي: $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=F_2+F_1=1+1=2$, $F_4=F_3+F_2=2+1=3$, $F_5=F_4+F_3=3+2=5$.

الإجابة الصحيحة: إثبات صحة عبارة رياضية لكل عدد صحيح موجب.

يُستخدم الاستقراء الرياضي لبرهنة أن عبارة $P(n)$ صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ (أو لكل $n$ أكبر من أو يساوي قيمة بداية معينة).

الإجابة الصحيحة: إثبات صحة $P(1)$.

الخطوة الأولى هي خطوة الأساس، وفيها نثبت أن العبارة صحيحة عند أصغر قيمة لـ $n$ (غالبًا $n=1$).

الإجابة الصحيحة: افتراض أن $P(k)$ صحيحة لعدد صحيح $k$ ما.

فرض الاستقراء هو افتراض صحة العبارة عند $n=k$ كخطوة وسيطة لإثبات صحتها عند $n=k+1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$

مجموع أول $k+1$ حدًا يساوي مجموع أول $k$ حدًا مضافًا إليه الحد الأخير $(k+1)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) = (k+1)(\frac{k}{2}+1) = (k+1)(\frac{k+2}{2}) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

الإجابة الصحيحة: إيجاد الحد العام الصريح.

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب برهان ولا يتعلق بإيجاد صيغ صريحة، بل بإثبات صحتها إذا كانت معلومة.

الإجابة الصحيحة: $a_n = a_{n-1}+4$ لكل $n\ge2$

في المتتابعة الحسابية، كل حد يساوي الحد السابق مضافًا إليه الأساس. لذا $a_n = a_{n-1}+d$.

الإجابة الصحيحة: $a_n = 2a_{n-1}$ لكل $n\ge2$

في المتتابعة الهندسية، كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في النسبة المشتركة. لذا $a_n = r \cdot a_{n-1}$.

الإجابة الصحيحة: $2 - 3^{n-1}$

العدد الثابت يحقق $\alpha = 3\alpha - 4$ أي $\alpha = 2$، فيكون $a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ و $a_n - 2 = (1 - 2)3^{n-1}$، أي $a_n = 2 - 3^{n-1}$. تحقق: $a_2 = -1$.

الإجابة الصحيحة: 13

$a_2 = 1 + 2 = 3$، و $a_3 = 3 + 4 = 7$، و $a_4 = 7 + 6 = 13$. (والحد العام $n^2 - n + 1$.)

الإجابة الصحيحة: $n = 3$

العبارة مطلوبة لكل $n \ge 3$ (وهي خاطئة عند $n = 1$ و $n = 2$)، فنبدأ الأساس من $n = 3$: $8 > 7$.

الإجابة الصحيحة: $4(5m + 1)$

$5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1 = 5(4m + 1) - 1 = 20m + 4 = 4(5m + 1)$، وهو مضاعف للعدد 4.

الحدود الستة الأولى هي: $b_1 = 1$ $b_2 = 3$ $b_3 = 2b_2 - b_1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$ $b_4 = 2b_3 - b_2 = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$ $b_5 = 2b_4 - b_3 = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$ $b_6 = 2b_5 - b_4 = 2(9) - 7 = 18 - 7 = 11$ إذن، الحدود هي: $1, 3, 5, 7, 9, 11$.

**خطوة الأساس ($n=1$):** الطرف الأيسر: $\sum_{i=1}^{1} (2i-1) = 2(1)-1 = 1$. الطرف الأيمن: $1^2 = 1$. بما أن الطرفين متساويان، فالعبارة صحيحة عند $n=1$. **فرض الاستقراء:** نفترض صحة العبارة عند $n=k$ لعدد صحيح موجب $k$ ما، أي أن: $\sum_{i=1}^{k} (2i-1) = k^2$. **الخطوة الاستقرائية:** نثبت صحة العبارة عند $n=k+1$. نبدأ بالطرف الأيسر: $\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1) = \sum_{i=1}^{k} (2i-1) + (2(k+1)-1)$ باستخدام فرض الاستقراء، نعوض عن $\sum_{i=1}^{k} (2i-1)$ بـ $k^2$: $= k^2 + (2k+2-1)$ $= k^2 + 2k+1$ $= (k+1)^2$ وهذا هو بالضبط الطرف الأيمن للعبارة عندما $n=k+1$. إذن، صحت العبارة عند $n=k+1$ بافتراض صحتها عند $n=k$. بما أن خطوة الأساس والخطوة الاستقرائية قد تحققتا، فإن العبارة $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ بمبدأ الاستقراء الرياضي.

**خطوة الأساس ($n=1$):** عند $n=1$, يكون $1^2+1 = 1+1 = 2$. العدد $2$ هو عدد زوجي، فالعبارة صحيحة عند $n=1$. **فرض الاستقراء:** نفترض صحة العبارة عند $n=k$ لعدد صحيح موجب $k$ ما، أي أن $k^2+k$ عدد زوجي. هذا يعني أن $k^2+k = 2m$ لعدد صحيح $m$ ما. **الخطوة الاستقرائية:** نثبت صحة العبارة عند $n=k+1$. نعوض $n=k+1$ في العبارة: $(k+1)^2 + (k+1) = (k^2+2k+1) + (k+1)$ $= k^2+3k+2$ يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير ليصبح: $= (k^2+k) + 2k+2$ $= (k^2+k) + 2(k+1)$ من فرض الاستقراء، نعلم أن $(k^2+k)$ عدد زوجي. والحد $2(k+1)$ هو أيضًا عدد زوجي (لأنه مضروب في 2). مجموع عددين زوجيين هو دائمًا عدد زوجي. إذن، $(k+1)^2+(k+1)$ عدد زوجي. بما أن خطوة الأساس والخطوة الاستقرائية قد تحققتا، فإن العبارة $n^2+n$ عدد زوجي صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ بمبدأ الاستقراء الرياضي.

**توليد الحدود:** $a_1 = 1$ $a_2 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ $a_3 = a_2 + 3 = 3 + 3 = 6$ $a_4 = a_3 + 4 = 6 + 4 = 10$ $a_5 = a_4 + 5 = 10 + 5 = 15$ الحدود الخمسة الأولى هي: $1, 3, 6, 10, 15$. **استنتاج صيغة الحد العام الصريح:** نلاحظ أن كل حد $a_n$ هو مجموع الأعداد الصحيحة من $1$ إلى $n$: $a_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ هذه هي صيغة مجموع الأعداد الصحيحة الأولى، والتي تُعطى بالصيغة: $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ **للتحقق:** $a_5 = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = \frac{30}{2} = 15$ (مطابق للحد الذي حسبناه تكراريًا).

يتكون مبدأ الاستقراء الرياضي من خطوتين أساسيتين لإثبات أن عبارة رياضية $P(n)$ صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ (أو لكل $n$ أكبر من أو يساوي قيمة بداية معينة): 1. **خطوة الأساس (Base Case):** * **الشرح:** في هذه الخطوة، نثبت أن العبارة $P(n)$ صحيحة عند أصغر قيمة لـ $n$ التي نريد إثبات العبارة من أجلها. غالبًا ما تكون هذه القيمة $n=1$. * **الأهمية:** هذه الخطوة ضرورية لأنها تثبت وجود نقطة بداية لصحة العبارة. بدونها، لا يمكن أن تبدأ سلسلة البرهان. يمكن تشبيهها بسقوط أول حجر دومينو في صف طويل. 2. **الخطوة الاستقرائية (Inductive Step):** * **الشرح:** تتكون هذه الخطوة من جزأين: أ. **فرض الاستقراء (Inductive Hypothesis):** نفترض أن العبارة $P(n)$ صحيحة لعدد صحيح موجب $k$ ما، أي أن $P(k)$ صحيحة. هذا الافتراض هو نقطة الانطلاق لإثبات الخطوة التالية. ب. **الإثبات:** باستخدام فرض الاستقراء (أي افتراض صحة $P(k)$)، نثبت أن العبارة $P(n)$ صحيحة أيضًا عند $n=k+1$. بمعنى آخر، نبرهن أن صحة $P(k)$ تستلزم صحة $P(k+1)$. * **الأهمية:** هذه الخطوة تضمن استمرارية صحة العبارة. فهي تثبت أنه إذا كانت العبارة صحيحة لأي عدد $k$، فإنها ستكون صحيحة تلقائيًا للعدد التالي $k+1$. يمكن تشبيهها بضمان أن كل حجر دومينو يسقط، سيسقط الذي يليه. بدمج هذه الخطوة مع خطوة الأساس، نضمن أن العبارة صحيحة لكل عدد صحيح موجب بدءًا من قيمة الأساس.

**خطوة الأساس ($n=1$):** الطرف الأيسر: $2^1 = 2$. الطرف الأيمن: $1$. بما أن $2 > 1$, فالعبارة صحيحة عند $n=1$. **فرض الاستقراء:** نفترض صحة العبارة عند $n=k$ لعدد صحيح موجب $k$ ما، أي أن $2^k > k$. **الخطوة الاستقرائية:** نثبت صحة العبارة عند $n=k+1$. نريد أن نبرهن أن $2^{k+1} > k+1$. نبدأ من الطرف الأيسر: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$ من فرض الاستقراء، نعلم أن $2^k > k$. لذا، يمكننا الضرب في $2$ (وهو عدد موجب) للحفاظ على المتباينة: $2 \cdot 2^k > 2k$ إذن، $2^{k+1} > 2k$. الآن، نحتاج لإثبات أن $2k \ge k+1$ لـ $k \ge 1$. يمكننا إعادة ترتيب هذه المتباينة: $2k - k \ge 1 \implies k \ge 1$. بما أن $k$ عدد صحيح موجب، فإن $k \ge 1$ صحيحة دائمًا. لذلك، $2k \ge k+1$ صحيحة لكل $k \ge 1$. بجمع المتباينتين: $2^{k+1} > 2k \ge k+1$. وهذا يعني أن $2^{k+1} > k+1$. بما أن خطوة الأساس والخطوة الاستقرائية قد تحققتا، فإن العبارة $2^n > n$ صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ بمبدأ الاستقراء الرياضي.

العدد الثابت: $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 100$ فيكون $\alpha = 200$. إذن $a_{n+1} - 200 = \frac{1}{2}(a_n - 200)$، والمتتابعة $a_n - 200$ هندسية حدها الأول $100 - 200 = -100$ وأساسها $\frac{1}{2}$. الحد العام $a_n = 200 - 100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. وبما أن $100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} > 0$ دائمًا، فإن $a_n < 200$ لكل $n$، وتقترب الكمية من 200 ملجم كلما زاد $n$.