أسئلة: متتابعات متقدّمة

الإجابة الصحيحة: $2n + 2$

$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 + 3n - [(n - 1)^2 + 3(n - 1)] = 2n + 2$، وتعطي $a_1 = 4 = S_1$.

الإجابة الصحيحة: $S_1$

مجموع أول حد هو الحد نفسه: $a_1 = S_1$. أما الصيغة $S_n - S_{n-1}$ فتصح من $n = 2$ ولا تعطي $a_1$ دائمًا.

الإجابة الصحيحة: $3, 2, 4$

$a_1 = S_1 = 3$، و $a_2 = S_2 - S_1 = 5 - 3 = 2$، و $a_3 = 9 - 5 = 4$. الحد الأول لا يتبع الصيغة $2^{n-1}$ التي تصح من $n = 2$.

الإجابة الصحيحة: هندسية أساسها 2

الفروق $1, 2, 4, 8$، وكل فرق ضعف سابقه، فهي هندسية أساسها 2، ومنها $a_n = 2^{n-1} + 2$.

الإجابة الصحيحة: $(n - 1)^{2} + 1$

فروقها $1, 3, 5, 7$ ومجموع أول $n - 1$ فرقًا $(n - 1)^2$، فيكون $a_n = 1 + (n - 1)^2$. تحقق: $a_4 = 10$.

الإجابة الصحيحة: $2$

الحدود هي $2, 5, 10, 17$. الفروق الأولى: $3, 5, 7$. الفروق الثانية: $5-3=2$ و $7-5=2$. ثابتة وتساوي $2$.

الإجابة الصحيحة: $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + \cdots + (a_n - a_{n-1})$ وفيها $n - 1$ فرقًا فقط.

الإجابة الصحيحة: الثانية

درجة كثيرة الحدود للحد العام تساوي رتبة الفروق الثابتة.

الإجابة الصحيحة: 28

$1 + 2 + \cdots + 7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28$، فأول حد في المجموعة الثامنة هو 29.

الإجابة الصحيحة: $k^{3}$

أول حد في المجموعة $k^2 - k + 1$ وآخر حد $k^2 + k - 1$، والمجموع $\frac{k}{2}(2k^2) = k^3$. تحقق: $7 + 9 + 11 = 27$.

الإجابة الصحيحة: من الدرجة الثانية

بما أن الفروق الثانية ثابتة، فإن الحد العام كثير حدود من الدرجة الثانية.

الإجابة الصحيحة: ثابتة وتساوي 1

الفروق الأولى $1, 2, 3, 4, 5$ والفروق الثانية كلها 1، فالحد العام من الدرجة الثانية: $a_n = 2 + \frac{(n - 1)n}{2}$.

الإجابة الصحيحة: 19

$a_3 = S_3 - S_2 = 27 - 8 = 19$.

الإجابة الصحيحة: حسابية

ثبات الفرق بين كل حدين متتاليين هو تعريف المتتابعة الحسابية.

الإجابة الصحيحة: 91

أول حد في المجموعة $k$ هو $k^2 - k + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$.

$a_1 = S_1 = 1$. ولكل $n \ge 2$: $a_n = 2n^2 - n - [2(n - 1)^2 - (n - 1)] = 2n^2 - n - 2n^2 + 4n - 2 + n - 1 = 4n - 3$، وتعطي $a_1 = 1$ أيضًا. إذن $a_n = 4n - 3$، والمتتابعة حسابية أساسها 4.

الفروق $b_k = k$ (أي $1, 2, 3, \dots$). إذن $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n - 1)n}{2}$. تحقق: $a_4 = 2 + 6 = 8$ و $a_6 = 2 + 15 = 17$.

الحدود: $1, 4, 9, 16$. الفروق الأولى: $4-1=3, 9-4=5, 16-9=7$. الفروق الثانية: $5-3=2, 7-5=2$. بما أن الفروق الثانية ثابتة وتساوي $2$، فإن الحد العام من الدرجة الثانية.

الفروق $3, 9, 27, \dots$ هندسية $b_k = 3^k$. إذن $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$. تحقق: $a_4 = \frac{81 - 1}{2} = 40$.

$a_1 = 2(1)^2 + 3 = 5$. $a_2 = 2(2)^2 + 3 = 11$. $a_3 = 2(3)^2 + 3 = 21$.

عدد الحدود قبل المجموعة الثامنة $1 + 2 + \cdots + 7 = 28$، فأول حد فيها 29. وفيها 8 حدود، فآخرها 36. المجموع $\frac{8}{2}(29 + 36) = 260$.