أسئلة: التجميع

الإجابة الصحيحة: 15

باستخدام خاصية الثابت $\sum_{i=1}^{n} c = nc$، يكون الناتج $5 \times 3 = 15$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

هذه هي الصيغة القياسية لمجموع القوى الثانية (المربعات) للأعداد الصحيحة.

الإجابة الصحيحة: 10

باستخدام الصيغة $\frac{n(n+1)}{2}$ عند $n=4$: $\frac{4(5)}{2} = 10$.

الإجابة الصحيحة: 100

باستخدام خاصية الثابت المضروب: $2 \sum a_i = 2 \times 50 = 100$.

الإجابة الصحيحة: 36

المجموع هو $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.

الإجابة الصحيحة: $\sum a_i + \sum b_i$

خاصية توزيع التجميع على المجموع تسمح بفصله إلى تجميعين.

الإجابة الصحيحة: 15

الحدود هي $(2(1)+1) + (2(2)+1) + (2(3)+1) = 3 + 5 + 7 = 15$.

الإجابة الصحيحة: 5

$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

الإجابة الصحيحة: 20

$2 \sum_{i=1}^{4} i = 2 \times 10 = 20$.

الإجابة الصحيحة: $k$

الحرف أسفل رمز سيجما هو متغير التجميع (الدليل).

الإجابة الصحيحة: 11

$(1-1) + (4-1) + (9-1) = 0 + 3 + 8 = 11$ (عفواً: $0+3+8=11$)، التصحيح: $(1-1)+(4-1)+(9-1)=0+3+8=11$. الخيار الصحيح هو 11، لنعدل الخيارات لتشمل 11.

الإجابة الصحيحة: 9

$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{9}{10}$

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$، فيتداخل المجموع ويبقى $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

الإجابة الصحيحة: 385

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$. أما 3025 فهي $\sum k^3 = 55^2$.

الإجابة الصحيحة: 17

عدد الحدود من $k = m$ إلى $k = n$ هو $n - m + 1 = 20 - 4 + 1 = 17$.

الإجابة الصحيحة: $(n - 1)2^{n} + 1$

بطرح $2S$ من $S$ نحصل على $-S = (2^n - 1) - n \cdot 2^n$، فيكون $S = (n - 1)2^n + 1$. تحقق: عند $n = 3$ يكون $1 + 4 + 12 = 17 = 2 \times 8 + 1$.

نفكك المجموع: $\sum_{i=1}^{3} i^2 + 2\sum_{i=1}^{3} i$. نحسب كل جزء: $\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14$. و $\sum_{i=1}^{3} i = 1+2+3 = 6$. إذن الناتج: $14 + 2(6) = 14 + 12 = 26$.

بما أن الحد العام هو ثابت $c$ لا يعتمد على $i$، فإن المجموع هو جمع $c$ مع نفسها $n$ من المرات: $c + c + c + \cdots + c$ ($n$ مرة) = $nc$.

نستخدم الصيغة $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ حيث $n=20$. الناتج: $\frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 10 \times 21 = 210$.

نخرج الثابت 3 خارج المجموع: $3 \sum_{i=1}^{4} i^2$. المجموع $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1+4+9+16 = 30$. إذن الناتج: $3 \times 30 = 90$.

نستخدم الصيغة $\frac{n(n+1)}{2} = 15$، إذن $n(n+1) = 30$. نبحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما 30، وهما 5 و 6. إذن $n=5$.

$\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14$. بينما $(\sum_{i=1}^{3} i)^2 = (1+2+3)^2 = 6^2 = 36$. نلاحظ أن المجموع لا يتوزع على القوى: $\sum i^2 \neq (\sum i)^2$.

$\sum_{k=1}^{n} k(k + 1) = \sum k^2 + \sum k = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{3n(n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$. التحقق عند $n = 3$: المجموع المباشر $2 + 6 + 12 = 20$، والصيغة $\frac{3 \times 4 \times 5}{3} = 20$.