ملخص التجميع — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 2 — المتتابعات

كتابة $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + 20^{2}$ طويلة ومرهقة. الرياضيون يختصرونها برمز واحد: $\sum_{k=1}^{20} k^{2}$ . في هذا الدرس نتعلم هذا الرمز وخواصه، ونحفظ صيغ ثلاثة مجاميع أساسية تمكننا من جمع متتابعات كثيرة ليست حسابية ولا هندسية، ونتعلم حيلتين ذكيتين: المجموع المتداخل وطريقة الطرح بعد الضرب في الأساس.

أهداف التعلم

أن تكتب مجموعًا باستخدام الرمز $\Sigma$ وتفكه، وتستخدم خواصه.
أن تستخدم صيغ $\sum k$ و $\sum k^{2}$ و $\sum k^{3}$ لحساب مجاميع كثيرات حدود في $k$ .
أن تجمع متتابعة كسرية بتجزئة حدها العام إلى فرق كسرين.
أن تجمع متتابعة حدها العام حد حسابي مضروب في حد هندسي.

شرح الدرس

رمز المجموع

\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

يُقرأ «مجموع $a_k$ من $k = 1$ إلى $k = n$ »، و $k$ متغير التجميع ويمكن استبداله بأي حرف. وعدد الحدود من $k = m$ إلى $k = n$ هو $n - m + 1$ .

الخواص: لأي ثابت $c$ :

\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \\ \sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k \\ \sum_{k=1}^{n} c = nc \end{gathered}

لكن $\sum a_k b_k \ne \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$ و $\sum k^{2} \ne \left(\sum k\right)^{2}$ .

الصيغ الأساسية

\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^{2} \end{gathered}

ولمجموع حدود هندسية: $\sum_{k=1}^{n} a r^{k-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$ حيث $r \ne 1$ .

المتتابعات الكسرية: المجموع المتداخل

إذا أمكن كتابة الحد العام في صورة فرق $f(k) - f(k + 1)$ ، فإن معظم الحدود يلغي بعضها بعضًا عند الجمع ولا يبقى إلا الأول والأخير. أشهر مثال:

\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

حد حسابي مضروب في حد هندسي

لجمع مثل $S = 1 + 2\cdot 3 + 3\cdot 3^{2} + \cdots + n\cdot 3^{n-1}$ : نضرب $S$ في الأساس $r = 3$ ، ونطرح $3S$ من $S$ بعد إزاحة الحدود بحيث تتقابل القوى المتساوية؛ فيبقى مجموع هندسي بسيط يمكن حسابه.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (فك الرمز): $\sum_{k=2}^{5} (2k - 1) = 3 + 5 + 7 + 9 = 24$ ، وعدد الحدود $5 - 2 + 1 = 4$ .

مثال 2 (استخدام الصيغ): احسب $\sum_{k=1}^{10} (3k^{2} - 2k)$ .

\begin{aligned} &3\sum_{k=1}^{10} k^{2} - 2\sum_{k=1}^{10} k \\ &= 3 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - 2 \times \frac{10 \times 11}{2} \\ &= 3 \times 385 - 110 \\ &= 1045 \end{aligned}

مثال 3 (مجموع بصيغة عامة): أوجد $\sum_{k=1}^{n} k(k + 1)$ .

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n} (k^{2} + k) \\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2} \\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6} \\ &= \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \end{aligned}

تحقق عند $n = 2$ : $1 \times 2 + 2 \times 3 = 8$ ، والصيغة تعطي $\frac{2 \times 3 \times 4}{3} = 8$ .

مثال 4 (مجموع متداخل):

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \\ &\quad + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n + 1} \\ &= \frac{n}{n + 1} \end{aligned}

فمثلًا $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{9 \times 10} = \frac{9}{10}$ .

مثال 5 (حسابية × هندسية): أوجد $S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \cdots + n \cdot 2^{n-1}$ .

نكتب $2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + \cdots + (n - 1)2^{n-1} + n \cdot 2^{n}$ ، ونطرح:

\begin{aligned} &S - 2S \\ &= 1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n-1} - n \cdot 2^{n} \\ &= (2^{n} - 1) - n \cdot 2^{n} \end{aligned}

إذن $S = (n - 1)2^{n} + 1$ . تحقق عند $n = 3$ : $1 + 4 + 12 = 17$ ، والصيغة $2 \times 8 + 1 = 17$ .

مثال 6 (حد عام هو مجموع): في المتتابعة $1,\ 1 + 2,\ 1 + 2 + 3, \ldots$ الحد العام $a_k = \frac{k(k + 1)}{2}$ ، فمجموع أول $n$ حدًّا $\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ (باستخدام المثال 3).

ملاحظات مهمة

انتبه لبداية التجميع؛ إذا بدأ من $k = 2$ لا تطبق الصيغ مباشرة، بل اطرح الحدود الناقصة أو احسب عدد الحدود بدقة.
$\sum_{k=1}^{n} c = nc$ وليس $c$ .
في المجموع المتداخل اكتب الحدود الأولى والأخيرة صراحة لترى ما يبقى.
تحقق من أي صيغة عامة تستنتجها بالتعويض بقيمة صغيرة لـ $n$ .

المفاهيم الأساسية

$\Sigma$ يتوزع على الجمع ويُخرَج منه الثابت، و $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ .
$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ ، و $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ، و $\sum k^{3} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$ .
$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ، و $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$ .
حسابية × هندسية: احسب $S - rS$ .

ملخص الدرس

الرمز $\Sigma$ طريقة مختصرة لكتابة المجاميع، وخواصه تسمح بتفكيك مجموع كثيرة حدود في $k$ إلى مجاميع أساسية نعرف صيغها: مجموع الأعداد ومربعاتها ومكعباتها. وتُجمع بعض المتتابعات الكسرية بكتابة حدها العام فرقًا بين كسرين فتتلاشى الحدود الوسطى، وتُجمع متتابعة حدها حاصل ضرب حد حسابي في حد هندسي بطرح المجموع مضروبًا في الأساس من المجموع نفسه.

أسئلة للتدريب

اكتب $2 + 5 + 8 + \cdots + 29$ باستخدام الرمز $\Sigma$ ، ثم احسبه.
احسب $\sum_{k=1}^{8} (k^{2} + 1)$ .
احسب $\sum_{k=1}^{5} k^{3}$ بالصيغة وتحقق بالجمع المباشر.
أوجد $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{10 \times 11}$ .
أوجد $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)^{2}$ بدلالة $n$ .