ملخص المتتابعات الحسابية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 2 — المتتابعات

قاعة مسرح صفها الأول 20 مقعدًا، ويزيد كل صف على الذي قبله بمقعدين. كم مقعدًا في الصف الخامس والعشرين؟ وكم مقعدًا في القاعة كلها إذا كان فيها 25 صفًّا؟ عدّ المقاعد واحدًا واحدًا ممل، لكن الأعداد $20, 22, 24, \ldots$ تكوّن متتابعة حسابية، ولها قوانين تجيب فورًا.

أهداف التعلم

أن تكتب حدود متتابعة من حدها العام، وأن تميز المتتابعة الحسابية وتحدد أساسها.
أن تستخدم الحد العام $a_n = a_1 + (n - 1)d$ لإيجاد حد أو رتبته أو الأساس.
أن تستخدم الوسط الحسابي وفرض ثلاثة حدود متتالية في صورة $a - d, a, a + d$ .
أن تحسب مجموع أول $n$ حدًّا من متتابعة حسابية ومجموع الأعداد الطبيعية.
أن تجد الحد العام إذا عُلمت صيغة المجموع $S_n$ .

شرح الدرس

المتتابعة وحدها العام

المتتابعة أعداد مرتبة: الحد الأول $a_1$ ، والثاني $a_2$ ، …، والحد رقم $n$ هو الحد العام $a_n$ . فمثلًا إذا كان $a_n = n^{2} + 1$ فإن الحدود $2, 5, 10, 17, \ldots$ .

المتتابعة الحسابية

المتتابعة حسابية إذا كان الفرق بين أي حد والحد الذي قبله ثابتًا، ويسمى الأساس $d$ :

a_{n+1} - a_n = d \qquad a_n = a_1 + (n - 1)\,d

فالمتتابعة $20, 22, 24, \ldots$ حسابية أساسها $d = 2$ ، وحدها الخامس والعشرون $a_{25} = 20 + 24 \times 2 = 68$ .

رسمان: الأيمن نقاط متتابعة حسابية 2، 5، 8، 11 تقع على خط مستقيم لأنها تزيد بمقدار ثابت، والأيسر نقاط متتابعة هندسية 2، 4، 8، 16 تتضاعف فتصعد بسرعة متزايدة

الوسط الحسابي

إذا كانت $a, b, c$ ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية فإن $b - a = c - b$ ، أي:

b = \frac{a + c}{2}

ويسمى $b$ الوسط الحسابي لـ $a$ و $c$ . وعندما نعلم مجموع ثلاثة حدود متتالية يُفضَّل فرضها $a - d,\ a,\ a + d$ لأن مجموعها $3a$ .

مجموع أول n حدًّا

إذا كان الحد الأول $a_1$ والحد الأخير $l = a_n$ :

S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + l) = \frac{n}{2}\,\bigl[2a_1 + (n - 1)d\bigr]

فكرة الصيغة: نكتب المجموع مرة من أوله ومرة من آخره ونجمع الحدود المتقابلة؛ كل زوج مجموعه $a_1 + l$ ، وعدد الأزواج $n$ ، ثم نقسم على 2.

مجموع الأعداد الطبيعية وأعداد خاصة

\begin{gathered} 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \\ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^{2} \end{gathered}

الحد العام من المجموع

إذا عُلمت $S_n$ فإن $a_1 = S_1$ ، ولكل $n \ge 2$ : $a_n = S_n - S_{n-1}$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (المسرح): عدد المقاعد في القاعة ذات 25 صفًّا:

\begin{aligned} S_{25} &= \frac{25}{2}\,(20 + 68) \\ &= \frac{25 \times 88}{2} \\ &= 1100 \end{aligned}

مثال 2 (إيجاد الأساس): متتابعة حسابية حدها الثالث 11 وحدها الثامن 31. من $a_1 + 2d = 11$ و $a_1 + 7d = 31$ نطرح: $5d = 20$ فيكون $d = 4$ و $a_1 = 3$ ، والحد العام $a_n = 4n - 1$ .

مثال 3 (رتبة حد): ما رتبة الحد 197 في المتتابعة $5, 9, 13, \ldots$ ؟ من $197 = 5 + (n - 1)\times 4$ نجد $n - 1 = 48$ أي $n = 49$ .

مثال 4 (ثلاثة حدود): ثلاثة أعداد في متتابعة حسابية مجموعها 21 وحاصل ضربها 231. نفرضها $a - d, a, a + d$ : المجموع $3a = 21$ أي $a = 7$ ، والضرب $7(49 - d^{2}) = 231$ أي $d^{2} = 16$ ، فالأعداد $3, 7, 11$ (أو $11, 7, 3$ ).

مثال 5 (مضاعفات): مجموع الأعداد من 1 إلى 100 التي تقبل القسمة على 3: الحدود $3, 6, \ldots, 99$ ، وعددها 33، فالمجموع $\frac{33}{2}(3 + 99) = 1683$ .

مثال 6 (الحد العام من المجموع): إذا كان $S_n = 3n^{2} + 2n$ فإن $a_1 = S_1 = 5$ ، و:

\begin{aligned} &a_n \\ &= S_n - S_{n-1} \\ &= (3n^{2} + 2n) - \bigl(3(n - 1)^{2} + 2(n - 1)\bigr) \\ &= 6n - 1 \end{aligned}

وهي متتابعة حسابية أساسها 6 (وتحقق $a_1 = 5$ ).

ملاحظات مهمة

الحد العام يستخدم $(n - 1)$ لا $n$ ؛ فالحد الأول لا يُضاف إليه أي أساس.
الأساس قد يكون سالبًا، فتكون المتتابعة متناقصة.
عند حساب عدد الحدود من الحد الأول إلى الأخير استخدم $n = \frac{l - a_1}{d} + 1$ ، لا $\frac{l - a_1}{d}$ .
عند إيجاد $a_n$ من $S_n$ تحقق من أن الصيغة تعطي $a_1 = S_1$ .

المفاهيم الأساسية

حسابية: $a_{n+1} - a_n = d$ ، و $a_n = a_1 + (n - 1)d$ .
الوسط الحسابي: $b = \frac{a + c}{2}$ .
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + l) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$ .
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ ، ومجموع أول $n$ عددًا فرديًّا $n^{2}$ .
$a_n = S_n - S_{n-1}$ لكل $n \ge 2$ .

ملخص الدرس

المتتابعة الحسابية تزيد (أو تنقص) بمقدار ثابت هو الأساس $d$ ، فحدها العام $a_1 + (n - 1)d$ ونقاطها تقع على خط مستقيم. والحد الأوسط بين حدين متتاليين هو وسطهما الحسابي. ونحسب مجموع أول $n$ حدًّا بضرب عدد الحدود في متوسط الحدين الأول والأخير، ومنه مجموع الأعداد الطبيعية $\frac{n(n + 1)}{2}$ . وإذا عُلم المجموع استنتجنا الحد العام من $a_n = S_n - S_{n-1}$ .

أسئلة للتدريب

أوجد الحد العشرين من المتتابعة $7, 4, 1, -2, \ldots$ .
متتابعة حسابية حدها الخامس 17 وحدها الثاني عشر 38. أوجد حدها الأول وأساسها.
أوجد مجموع الأعداد الفردية من 1 إلى 99.
كم حدًّا يلزم أخذه من المتتابعة $3, 7, 11, \ldots$ ليكون المجموع 465؟
إذا كان $S_n = n^{2} + 4n$ فأوجد الحد العام وبيّن أن المتتابعة حسابية.