أسئلة: المتتابعات الحسابية

الإجابة الصحيحة: 4

أساس المتتابعة الحسابية $d$ يُحسب بطرح أي حد من الحد الذي يسبقه مباشرة: $d = 7 - 3 = 4$.

الإجابة الصحيحة: 16

باستخدام صيغة الحد العام $a_n = a_1 + (n-1)d$: نجد أن $a_5 = 4 + (5-1)(3) = 4 + 12 = 16$.

الإجابة الصحيحة: 19

باستخدام صيغة الحد العام: $a_8 = 5 + (8-1)(2) = 5 + 7(2) = 5 + 14 = 19$.

الإجابة الصحيحة: $3, 6, 9, 12, \dots$

في $3, 6, 9, 12$ الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت ويساوي 3. الأولى هندسية، والثانية مربعات، والرابعة فروقها $1, 2, 3$ متغيرة.

الإجابة الصحيحة: 3

معامل المتغير $n$ في الحد العام الخطي للمتتابعة الحسابية يمثل دائمًا أساس المتتابعة $d$، وهنا يساوي 3.

الإجابة الصحيحة: 245

نحسب أولاً الحد العاشر $a_{10} = 2 + (10-1)(5) = 2 + 45 = 47$. ثم نستخدم صيغة المجموع $S_{10} = \frac{10}{2}(2 + 47) = 5 \times 49 = 245$.

الإجابة الصحيحة: 4

نكون المعادلتين: $a_1 + 2d = 11$ و $a_1 + 6d = 27$. بالطرح نجد $4d = 16$ إذن $d = 4$.

الإجابة الصحيحة: 7

مجموع أول حدين $S_2 = 2(2)^2 + 2 = 8 + 2 = 10$. ومجموع الحد الأول $S_1 = a_1 = 2(1)^2 + 1 = 3$. إذن الحد الثاني $a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 3 = 7$.

الإجابة الصحيحة: 10

$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + 3(n - 1)] = \frac{n(3n + 7)}{2} = 185$، أي $3n^2 + 7n - 370 = 0$، وحلها الموجب $n = 10$. التحقق: $S_{10} = 5(10 + 27) = 185$.

الإجابة الصحيحة: 3

$a_1 + 3d = 15$ و $a_1 + 8d = 35$، بالطرح $5d = 20$ فيكون $d = 4$ و $a_1 = 15 - 12 = 3$.

الإجابة الصحيحة: 4

في المتتابعة الحسابية، الوسيط الحسابي لأي حدين يساوي متوسطهما أو الفرق ثابت: $10 - x = 16 - 10 \implies 10 - x = 6 \implies x = 4$.

الإجابة الصحيحة: 820

من المعادلتين: $a_1 + d = 7$ و $a_1 + 5d = 23$. بالطرح: $4d = 16 \implies d = 4$، إذن $a_1 = 3$. مجموع أول 20 حدًا: $S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (19)(4)] = 10[6 + 76] = 10(82) = 820$.

الإجابة الصحيحة: 17

الوسط الحسابي $\frac{8 + 26}{2} = 17$، فتكون $8, 17, 26$ متتابعة حسابية أساسها 9.

الإجابة الصحيحة: 5050

$\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.

الإجابة الصحيحة: 144

مجموع أول $n$ عددًا فرديًّا يساوي $n^2 = 144$. (الحد الأخير 23، و $\frac{12}{2}(1 + 23) = 144$.)

من الحد العام $a_n = a_1 + (n - 1)d$: $98 = 3 + 5(n - 1)$، فيكون $95 = 5(n - 1)$ و $n - 1 = 19$، أي $n = 20$. الحد الذي قيمته 98 هو الحد العشرون.

نكتب المعادلات بدلالة $a_1$ و $d$: 1) $a_1 + 3d = 14$ 2) $(a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 64 \implies 2a_1 + 15d = 64$ من المعادلة الأولى: $a_1 = 14 - 3d$. نعوض في الثانية: $2(14 - 3d) + 15d = 64 \implies 28 - 6d + 15d = 64 \implies 9d = 36 \implies d = 4$. بالتعويض لإيجاد الحد الأول: $a_1 = 14 - 3(4) = 14 - 12 = 2$. إذن الحد الأول هو 2 والأساس هو 4.

نحسب الحد الأول والحد العاشر باستخدام صيغة الحد العام: - الحد الأول ($n=1$): $a_1 = 2(1) + 1 = 3$. - الحد العاشر ($n=10$): $a_{10} = 2(10) + 1 = 21$. نستخدم صيغة المجموع بدلالة الحد الأول والحد الأخير: $S_{10} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{10}) = \frac{10}{2}(3 + 21) = 5 \times 24 = 120$. إذن مجموع أول عشرة حدود يساوي 120.

نفرض الأعداد $a - d,\ a,\ a + d$. مجموعها $3a = 21$ فيكون $a = 7$. حاصل ضربها $(7 - d)(7)(7 + d) = 7(49 - d^2) = 231$، فيكون $49 - d^2 = 33$ و $d^2 = 16$ أي $d = \pm 4$. الأعداد $3, 7, 11$ (أو بالترتيب العكسي $11, 7, 3$).

الأعداد التي تقبل القسمة على 7 وتكون محصورة بين 10 و 250 تكوّن متتابعة حسابية حدها الأول $a_1 = 14$ وأساسها $d = 7$، والحد الأخير أقل من أو يساوي 250 وهو 245. 1) نجد عدد الحدود $n$: $245 = 14 + (n-1)(7) \implies 231 = 7(n-1) \implies n-1 = 33 \implies n = 34$. 2) نجد المجموع $S_{34}$: $S_{34} = \frac{34}{2}(14 + 245) = 17 \times 259 = 4403$. إذن عدد الأعداد هو 34 ومجموعها يساوي 4403.

$a_1 = S_1 = 3 + 2 = 5$. ولكل $n \ge 2$: $a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 + 2n - [3(n - 1)^2 + 2(n - 1)] = 3n^2 + 2n - 3n^2 + 6n - 3 - 2n + 2 = 6n - 1$، وهي تعطي أيضًا $a_1 = 5$. بما أن $a_{n+1} - a_n = 6$ ثابت، فالمتتابعة حسابية أساسها 6.