أسئلة: المتباينات

الإجابة الصحيحة: $A - B > 0$

$A > B$ يكافئ $A - B > 0$، ولذلك نحسب الفرق ونبين أنه موجب.

الإجابة الصحيحة: $(a - b)(x - y)$

$ax + by - ay - bx = a(x - y) - b(x - y) = (a - b)(x - y)$، وهو موجب لأن العاملين موجبان.

الإجابة الصحيحة: $(x - 2y)^{2}$

$(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$، ولذلك $x^2 + 4y^2 \ge 4xy$ لكل $x$ و $y$، والمساواة عندما $x = 2y$.

الإجابة الصحيحة: 1

$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$، وأصغر قيمة للمربع صفر عند $x = 3$، فأصغر قيمة للمقدار 1.

الإجابة الصحيحة: $a = b$

$\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$، ويساوي صفرًا فقط عندما $\sqrt{a} = \sqrt{b}$، أي $a = b$.

الإجابة الصحيحة: 6

من متباينة المتوسطين: $x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{9} = 6$، والمساواة عندما $x = 3$.

الإجابة الصحيحة: 100 م²

$L + W = 20$، و $\sqrt{LW} \le \frac{L + W}{2} = 10$، فتكون $LW \le 100$، وتتحقق المساواة للمربع $10 \times 10$.

الإجابة الصحيحة: الطرفين موجبان، وللأعداد الموجبة يكون $A > B$ إذا وفقط إذا $A^2 > B^2$

مقارنة المربعات صالحة فقط عندما يكون الطرفان موجبين؛ وهنا يكون الفرق بين المربعين $2\sqrt{ab} > 0$.

الإجابة الصحيحة: $x^{2} + 2x + 5 > 0$

$x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4 \ge 4 > 0$. أما $x^2 - 4$ فسالب عند $x = 0$، و $x^2 > x$ خاطئة عند $x = \frac{1}{2}$، و $x^2 - 2x$ سالب عند $x = 1$.

الإجابة الصحيحة: $a + \frac{1}{a} \ge 2$

$a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2$، والمساواة عندما $a = 1$؛ لذلك لا تكون أكبر من 2 «دائمًا».

الإجابة الصحيحة: لأن المتباينة تشترط أعدادًا غير سالبة، وتعطي هنا نتيجة خاطئة

$\frac{-4 + (-9)}{2} = -6.5$ بينما $\sqrt{(-4)(-9)} = 6$، فالمتباينة $-6.5 \ge 6$ خاطئة؛ ولهذا نشترط $a, b \ge 0$.

الإجابة الصحيحة: $(x - 2)(y - 3)$

$(x - 2)(y - 3) = xy - 3x - 2y + 6$، وهو موجب لأن العاملين موجبان، فيكون $xy + 6 > 3x + 2y$.

الإجابة الصحيحة: تحديد متى تتحقق المساواة

الرمز $\ge$ يعني «أكبر من أو يساوي»، فنذكر الشرط الذي تتحقق عنده المساواة، مثل $x = 2y$ في $(x - 2y)^2 \ge 0$.

الإجابة الصحيحة: $a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2} \ge 0$

الفرق مربع كامل غير سالب، والمساواة عندما $a = b$، ولا يلزم أن يكون العددان موجبين.

الإجابة الصحيحة: 4

بالفك: $2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4$، لأن $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$؛ والمساواة عندما $a = b$.

الفرق $x^2 + 4y^2 - 4xy = (x - 2y)^2$، ومربع أي عدد حقيقي غير سالب، إذن $x^2 + 4y^2 - 4xy \ge 0$ أي $x^2 + 4y^2 \ge 4xy$. وتتحقق المساواة عندما $x - 2y = 0$ أي $x = 2y$.

الطرفان موجبان، فيكفي إثبات أن مربع الأيسر أكبر من مربع الأيمن. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a + b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab}$، وهو موجب لأن $a > 0$ و $b > 0$. إذن $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > (\sqrt{a + b})^2$، وبما أن الطرفين موجبان فإن $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}$.

إذا كان البعدان $L$ و $W$ فإن $2(L + W) = 60$ أي $L + W = 30$. من متباينة المتوسطين: $\sqrt{LW} \le \frac{L + W}{2} = 15$، فتكون المساحة $LW \le 225$ سم². وتتحقق المساواة عندما $L = W = 15$ سم، أي عندما يكون المستطيل مربعًا.

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$. بما أن $(x - 3)^2 \ge 0$ لكل $x$، فإن $(x - 3)^2 + 1 \ge 1 > 0$، فالمقدار موجب دائمًا (وأصغر قيمة له 1 عند $x = 3$).