ملخص المتباينات — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 1 — البراهين الجبرية

مزارع لديه سياج طوله 40 مترًا ويريد إحاطة حقل مستطيل بأكبر مساحة ممكنة. هل يختار حقلًا طويلًا ضيقًا أم مربعًا؟ ومصنع يريد أن يثبت أن تكلفة التشغيل الناتجة عن معادلة ما لا تصبح سالبة مهما كانت الإعدادات. في الدرس السابق أثبتنا مساواة، وهنا نتعلم إثبات متباينة: أن مقدارًا أكبر من آخر دائمًا.

أهداف التعلم

أن تثبت متباينة بحساب الفرق بين طرفيها وإثبات أنه موجب.
أن تستخدم إكمال المربع لإثبات متباينة لكل الأعداد الحقيقية، وتحدد شرط المساواة.
أن تثبت متباينات فيها جذور بمقارنة مربعي الطرفين الموجبين.
أن تطبق متباينة المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي في الإثبات وإيجاد القيم العظمى والصغرى.

شرح الدرس

طريقة الفرق

لإثبات أن $A > B$ نحسب $A - B$ ونبين أنه موجب ( $A - B > 0$ ). وغالبًا نحلل الفرق إلى عوامل معروفة الإشارة. وإذا أُعطي شرط مثل $a > b$ نكتبه $a - b > 0$ لنستخدمه.

إكمال المربع وشرط المساواة

لإثبات متباينة لكل الأعداد الحقيقية نستخدم أن مربع أي عدد حقيقي غير سالب: $X^{2} \ge 0$ ، والمساواة عندما $X = 0$ . فنكتب الفرق على الصورة $X^{2} \ge 0$ أو $X^{2} + Y^{2} \ge 0$ (والمساواة عندما $X = 0$ و $Y = 0$ معًا). وعندما تكون المتباينة بالرمز $\ge$ أو $\le$ يجب ذكر متى تتحقق المساواة.

متباينات فيها جذور

إذا كان الطرفان موجبين نقارن مربعيهما:

\begin{gathered} A > 0,\ B > 0: \\ A > B \iff A^{2} > B^{2} \end{gathered}

فنحسب $A^{2} - B^{2}$ ونثبت أنه موجب، مع التأكد أولًا من أن الطرفين موجبان.

متباينة المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي

لأي عددين $a \ge 0$ و $b \ge 0$ :

\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}

والمساواة عندما $a = b$ . الإثبات: $\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} \ge 0$ .

وتفيد هذه المتباينة كثيرًا عندما يكون حاصل ضرب الحدين ثابتًا؛ فمثلًا لكل $a > 0$ : $a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2$ .

منحنى الدالة y تساوي x زائد 9 على x لقيم x الموجبة، وخط أفقي متقطع عند y تساوي 6 يلامس المنحنى في أدنى نقطة له عند x تساوي 3، مع توضيح أن المتباينة تعطي x زائد 9 على x أكبر من أو يساوي 6

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (طريقة الفرق): إذا كان $a > b$ و $x > y$ فأثبت أن $ax + by > ay + bx$ .

\begin{aligned} &(ax + by) - (ay + bx) \\ &= a(x - y) - b(x - y) \\ &= (a - b)(x - y) \end{aligned}

وبما أن $a - b > 0$ و $x - y > 0$ فالفرق موجب، والمتباينة صحيحة.

مثال 2 (إكمال المربع): أثبت أن $x^{2} + 4y^{2} \ge 4xy$ ، وحدد متى تتحقق المساواة.

x^{2} + 4y^{2} - 4xy = (x - 2y)^{2} \ge 0

والمساواة عندما $x = 2y$ .

مثال 3: أثبت أن $x^{2} - 6x + 10 > 0$ لكل عدد حقيقي $x$ .

\begin{aligned} x^{2} - 6x + 10 &= (x - 3)^{2} + 1 \\ &\ge 1 \\ &> 0 \end{aligned}

مثال 4 (جذور): إذا كان $a > 0$ و $b > 0$ فأثبت أن $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}$ .

الطرفان موجبان، فنقارن المربعين:

\begin{aligned} &(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} - (\sqrt{a + b})^{2} \\ &= a + 2\sqrt{ab} + b - (a + b) \\ &= 2\sqrt{ab} \\ &> 0 \end{aligned}

مثال 5 (أصغر قيمة): لكل $x > 0$ :

x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \times \frac{9}{x}} = 6

والمساواة عندما $x = \frac{9}{x}$ ، أي $x = 3$ ؛ فأصغر قيمة للمقدار 6.

مثال 6 (أكبر مساحة): مستطيل محيطه 40 م، بعداه $L$ و $W$ ، فيكون $L + W = 20$ . من المتباينة: $\sqrt{LW} \le \frac{L + W}{2} = 10$ ، إذن المساحة $LW \le 100$ م²، وأكبر مساحة عندما $L = W = 10$ م: المربع هو الحل الأمثل للمزارع.

ملاحظات مهمة

لا تقسم أو تضرب طرفي المتباينة في مقدار مجهول الإشارة؛ طريقة الفرق تتجنب ذلك.
عند مقارنة المربعات تأكد أن الطرفين موجبان؛ فـ $-3 < 2$ مع أن $9 > 4$ .
متباينة المتوسطين تشترط أعدادًا غير سالبة، ولا تصح للأعداد السالبة.
اكتب شرط المساواة دائمًا عندما تكون المتباينة $\ge$ أو $\le$ .

المفاهيم الأساسية

لإثبات $A > B$ : أثبت أن $A - B > 0$ .
$X^{2} \ge 0$ لكل عدد حقيقي، والمساواة عندما $X = 0$ .
للطرفين الموجبين: $A > B \iff A^{2} > B^{2}$ .
المتوسطان: $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ لكل $a, b \ge 0$ ، والمساواة عندما $a = b$ .
لكل $a > 0$ : $a + \frac{1}{a} \ge 2$ .

ملخص الدرس

نثبت أن مقدارًا أكبر من آخر بحساب الفرق بينهما وإثبات أنه موجب، مستعينين بالتحليل أو بإكمال المربع لأن مربع أي عدد حقيقي غير سالب. وفي المتباينات التي فيها جذور نقارن مربعي الطرفين بعد التأكد من أنهما موجبان. وتنص متباينة المتوسطين على أن المتوسط الحسابي لعددين غير سالبين لا يقل عن متوسطهما الهندسي، وتفيد في إيجاد القيم العظمى والصغرى، مثل أن المربع أكبر المستطيلات مساحةً عند ثبات المحيط.

أسئلة للتدريب

إذا كان $x > 2$ و $y > 3$ فأثبت أن $xy + 6 > 3x + 2y$ .
أثبت أن $a^{2} + b^{2} \ge 2ab$ لكل عددين حقيقيين، وحدد متى تتحقق المساواة.
أثبت أن $x^{2} + 2x + 5 > 0$ لكل عدد حقيقي $x$ .
إذا كان $a > 0$ و $b > 0$ فأثبت أن $\left(a + b\right)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$ .
مستطيل محيطه 60 سم. ما أكبر مساحة ممكنة له؟ ومتى تتحقق؟