ملخص قسمة كثيرات الحدود — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 1 — البراهين الجبرية

عندما تقسم 437 على 12 بالقسمة المطوّلة تحصل على خارج قسمة 36 وباقٍ 5، أي $437 = 12 \times 36 + 5$ . كثيرات الحدود تُقسم بالطريقة نفسها تمامًا: نقسم، ثم نضرب، ثم نطرح، ونكرر حتى يصبح الباقي «أصغر» من المقسوم عليه. وهذه المهارة أساس لتبسيط الكسور الجبرية ولحل المعادلات ذات الدرجات العالية لاحقًا.

أهداف التعلم

أن تقسم كثيرة حدود على أخرى بالقسمة المطوّلة وتحدد خارج القسمة والباقي.
أن تعالج الحدود الناقصة بوضع معامل صفري مكانها.
أن تقسم مقدارًا فيه أكثر من متغير بمعاملته ككثيرة حدود في متغير واحد.
أن تستخدم العلاقة $A = BQ + R$ للتحقق من القسمة ولإيجاد مقسوم أو مقسوم عليه مجهول.

شرح الدرس

خطوات القسمة المطوّلة

لقسمة كثيرة الحدود $A$ على $B$ :

رتّب الحدود في كل منهما تنازليًّا حسب قوى المتغير، واترك مكانًا (معاملًا صفريًّا) لأي قوة ناقصة.
اقسم الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه؛ الناتج هو أول حد في خارج القسمة.
اضرب هذا الحد في المقسوم عليه كله.
اطرح الناتج من المقسوم (غيّر إشارة كل حد ثم اجمع).
كرر الخطوات على الناتج الجديد حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

قسمة 2x تكعيب زائد 3x تربيع ناقص 5x زائد 4 على x زائد 2 بالقسمة المطولة: خارج القسمة 2x تربيع ناقص x ناقص 3، مع خطوات القسمة والضرب والطرح، والباقي 10

العلاقة بين المقسوم والمقسوم عليه وخارج القسمة والباقي

إذا قُسمت كثيرة الحدود $A$ على كثيرة الحدود $B$ فكان خارج القسمة $Q$ والباقي $R$ ، فإن:

A = B\,Q + R

حيث درجة $R$ أقل من درجة $B$ (أو $R = 0$ ). فإذا كان المقسوم عليه من الدرجة الأولى كان الباقي عددًا ثابتًا، وإذا كان من الدرجة الثانية كان الباقي من الصورة $px + q$ . وإذا كان $R = 0$ قلنا إن $B$ يقسم $A$ تمامًا.

وتفيد هذه العلاقة في:

التحقق من صحة القسمة: نضرب $B$ في $Q$ ونضيف $R$ فيجب أن نحصل على $A$ .
إيجاد $A$ إذا عُلمت $B$ و $Q$ و $R$ : بالتعويض مباشرة.
إيجاد $B$ إذا عُلمت $A$ و $Q$ و $R$ : من $B\,Q = A - R$ ، فنقسم $A - R$ على $Q$ .

مقادير بأكثر من متغير

عندما يُطلب «اعتبر المقدار كثيرة حدود في $x$ »، نرتب حسب قوى $x$ ونعامل المتغيرات الأخرى (مثل $a$ ) كأنها ثوابت.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اقسم $2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 4$ على $x + 2$ . بخطوات الرسم أعلاه: خارج القسمة $2x^{2} - x - 3$ والباقي $10$ . التحقق:

\begin{aligned} &(x + 2)(2x^{2} - x - 3) + 10 \\ &= 2x^{3} + 3x^{2} - 5x - 6 + 10 \\ &= 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 4 \end{aligned}

مثال 2 (حدود ناقصة): اقسم $x^{3} - 8$ على $x - 2$ . نكتب المقسوم $x^{3} + 0x^{2} + 0x - 8$ :

$x^{3} \div x = x^{2}$ ، نضرب ونطرح فيبقى $2x^{2} + 0x - 8$ .
$2x^{2} \div x = 2x$ ، نضرب ونطرح فيبقى $4x - 8$ .
$4x \div x = 4$ ، نضرب ونطرح فيبقى $0$ .

إذن $x^{3} - 8 = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$ ، والقسمة تامة.

مثال 3 (مقسوم عليه من الدرجة الثانية): اقسم $x^{4} + x^{3} - 2x^{2} + 3x - 1$ على $x^{2} + x - 1$ .

$x^{4} \div x^{2} = x^{2}$ ، ونطرح $x^{4} + x^{3} - x^{2}$ فيبقى $-x^{2} + 3x - 1$ .
$-x^{2} \div x^{2} = -1$ ، ونطرح $-x^{2} - x + 1$ فيبقى $4x - 2$ .

درجة $4x - 2$ أقل من الثانية، فنتوقف: خارج القسمة $x^{2} - 1$ والباقي $4x - 2$ .

مثال 4 (إيجاد المقسوم): كثيرة حدود $A$ إذا قُسمت على $x^{2} + 1$ كان خارج القسمة $2x - 3$ والباقي $x + 4$ :

\begin{aligned} A &= (x^{2} + 1)(2x - 3) + (x + 4) \\ &= 2x^{3} - 3x^{2} + 3x + 1 \end{aligned}

مثال 5 (إيجاد المقسوم عليه): قُسمت $A = x^{3} + 2x^{2} + 2$ على $B$ فكان خارج القسمة $x + 3$ والباقي $2x - 1$ . من $B\,(x + 3) = A - R = x^{3} + 2x^{2} - 2x + 3$ ، وبقسمة الطرف الأيمن على $x + 3$ نجد $B = x^{2} - x + 1$ (والقسمة تامة).

مثال 6 (بمتغيرين): اقسم $x^{2} + 3ax + 2a^{2} + a$ على $x + a$ معتبرًا المقدار كثيرة حدود في $x$ :

$x^{2} \div x = x$ ، ونطرح $x^{2} + ax$ فيبقى $2ax + 2a^{2} + a$ .
$2ax \div x = 2a$ ، ونطرح $2ax + 2a^{2}$ فيبقى $a$ .

خارج القسمة $x + 2a$ والباقي $a$ (لا يحتوي على $x$ فهو «ثابت» بالنسبة لـ $x$ ).

ملاحظات مهمة

أخطاء الطرح أشهر الأخطاء: عند طرح $(2x^{3} + 4x^{2})$ تتغير إشارة كل حد.
اضرب حد خارج القسمة في المقسوم عليه كاملًا، لا في حده الأول فقط.
لا تتوقف مبكرًا: استمر حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه، ولا تظن أن الباقي يجب أن يكون صفرًا دائمًا.
لا تنسَ المعاملات الصفرية للقوى الناقصة، وإلا اختلطت الأعمدة.

المفاهيم الأساسية

القسمة المطوّلة: اقسم ← اضرب ← اطرح ← كرر.
$A = BQ + R$ ، ودرجة $R$ أقل من درجة $B$ .
المقسوم عليه من الدرجة الأولى يعطي باقيًا ثابتًا.
$R = 0$ يعني أن $B$ عامل من عوامل $A$ .
في مقدار بعدة متغيرات نرتب حسب المتغير المطلوب ونعامل غيره كثوابت.

ملخص الدرس

نقسم كثيرات الحدود كما نقسم الأعداد: نقسم الحد الأول على الحد الأول، ونضرب الناتج في المقسوم عليه كله، ونطرح، ونكرر حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه. وتربط العلاقة $A = BQ + R$ عناصر القسمة الأربعة، فنستخدمها للتحقق من الحل ولإيجاد مقسوم أو مقسوم عليه مجهول.

أسئلة للتدريب

اقسم $3x^{2} + 10x - 5$ على $x + 3$ ، واكتب النتيجة في صورة $A = BQ + R$ .
اقسم $x^{3} + 27$ على $x + 3$ .
أوجد خارج القسمة والباقي عند قسمة $x^{4} - 3x^{2} + x + 2$ على $x^{2} - 2$ .
كثيرة حدود إذا قُسمت على $x - 1$ كان خارج القسمة $x^{2} + 4$ والباقي $-3$ . أوجدها.
لماذا يجب أن تكون درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه؟