أسئلة: قسمة كثيرات الحدود

الإجابة الصحيحة: $3x^{2}$

نقسم الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه: $6x^3 \div 2x = 3x^2$.

الإجابة الصحيحة: $x + 3$

$x^2 \div x = x$، ونطرح $x^2 + 2x$ فيبقى $3x + 6$، ثم $3x \div x = 3$ ونطرح $3x + 6$ فيبقى صفر. إذن خارج القسمة $x + 3$ والقسمة تامة.

الإجابة الصحيحة: 10

بالقسمة المطوّلة: خارج القسمة $2x^2 - x - 3$، والتحقق $(x + 2)(2x^2 - x - 3) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6$، فالباقي $4 - (-6) = 10$.

الإجابة الصحيحة: $A = BQ + R$

المقسوم = المقسوم عليه × خارج القسمة + الباقي، مع كون درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

الإجابة الصحيحة: $3x - 2$

درجة الباقي يجب أن تكون أقل من درجة المقسوم عليه (2)، فيكون الباقي من الدرجة الأولى أو ثابتًا، مثل $3x - 2$.

الإجابة الصحيحة: $x^{2} + 2x + 4$

نكتب المقسوم $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ ونقسم: $x^2$ ثم $2x$ ثم $4$، والباقي صفر. التحقق: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 8$.

الإجابة الصحيحة: لحجز أماكن القوى الناقصة حتى تبقى الحدود المتشابهة في أعمدة واحدة

المعاملات الصفرية لا تغيّر المقدار، لكنها تحفظ ترتيب القوى فلا نطرح حدودًا غير متشابهة.

الإجابة الصحيحة: $2x^{3} - 3x^{2} + 3x + 1$

$A = BQ + R = (x^2 + 1)(2x - 3) + (x + 4) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 + x + 4 = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 1$. الخيار الأول يُهمل الباقي.

الإجابة الصحيحة: $4x - 2$

$x^4 \div x^2 = x^2$ ونطرح $x^4 + x^3 - x^2$ فيبقى $-x^2 + 3x - 1$، ثم $-1$ ونطرح $-x^2 - x + 1$ فيبقى $4x - 2$، ودرجته أقل من 2 فنتوقف.

الإجابة الصحيحة: $x + 2a$

$x^2 \div x = x$، ونطرح $x^2 + ax$ فيبقى $2ax + 2a^2$، ثم $2ax \div x = 2a$ ونطرح $2ax + 2a^2$ فيبقى صفر. ونعامل $a$ كثابت.

الإجابة الصحيحة: المقسوم عليه كله

نضرب حد خارج القسمة في المقسوم عليه كاملًا ثم نطرح الناتج؛ ضربه في الحد الأول فقط خطأ شائع.

الإجابة الصحيحة: عددًا ثابتًا

المقسوم عليه من الدرجة الأولى، ودرجة الباقي أقل منها، فالباقي ثابت (قد يكون صفرًا وقد لا يكون).

الإجابة الصحيحة: $x^{2} - x + 1$

$BQ = A - R = x^3 + 2x^2 - 2x + 3$، وبقسمته على $x + 3$ نجد $x^2 - x + 1$ بباقٍ صفر.

الإجابة الصحيحة: 0

$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$، فالقسمة تامة والباقي صفر.

الإجابة الصحيحة: $-x^{2} - 5x$

الطرح يغيّر إشارة كل حد: $(2x^3 + 3x^2 - 5x) - (2x^3 + 4x^2) = -x^2 - 5x$.

$3x^2 \div x = 3x$، ونطرح $3x^2 + 9x$ فيبقى $x - 5$؛ ثم $x \div x = 1$ ونطرح $x + 3$ فيبقى $-8$. إذن $Q = 3x + 1$ و $R = -8$، و $3x^2 + 10x - 5 = (x + 3)(3x + 1) - 8$. التحقق: $(x + 3)(3x + 1) = 3x^2 + 10x + 3$، وبطرح 8 نحصل على المقسوم.

نكتب المقسوم $x^4 + 0x^3 - 3x^2 + x + 2$. $x^4 \div x^2 = x^2$، ونطرح $x^4 - 2x^2$ فيبقى $-x^2 + x + 2$. ثم $-x^2 \div x^2 = -1$، ونطرح $-x^2 + 2$ فيبقى $x$. درجة $x$ أقل من 2، فخارج القسمة $x^2 - 1$ والباقي $x$. التحقق: $(x^2 - 2)(x^2 - 1) + x = x^4 - 3x^2 + 2 + x$.

$A = BQ + R = (x - 1)(x^2 + 4) - 3 = x^3 + 4x - x^2 - 4 - 3 = x^3 - x^2 + 4x - 7$.

ما دامت درجة الباقي مساوية لدرجة المقسوم عليه أو أكبر، يمكن قسمة حده الأول على الحد الأول من المقسوم عليه لإيجاد حد آخر في خارج القسمة، أي إن القسمة لم تنتهِ بعد. لذلك نتوقف فقط عندما تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه (أو يصبح الباقي صفرًا)؛ فإذا وجدت باقيًا من درجة المقسوم عليه نفسها فقد توقفت مبكرًا.