أسئلة: نظرية ذات الحدين ونظرية متعددة الحدود

الإجابة الصحيحة: 10

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.

الإجابة الصحيحة: 8

عدد حدود توسيع $(a+b)^n$ هو $n+1$، أي $7+1=8$.

الإجابة الصحيحة: $6x^2$

الحد الثالث يعني $r=2$، $T_3 = \binom{4}{2}x^{4-2}(1)^2 = 6x^2$.

الإجابة الصحيحة: 24

$T_{r+1} = \binom{4}{r}x^{4-r}(-2)^r$. ليكون $x^2$ يجب أن يكون $r=2$، إذن $\binom{4}{2}(-2)^2 = 6 \times 4 = 24$.

الإجابة الصحيحة: 30

المعامل = $\frac{5!}{2!2!1!} = \frac{120}{2 \times 2 \times 1} = 30$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{6}{2}$

من خاصية التماثل $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ يكون $\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15$.

الإجابة الصحيحة: 1

$\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \times n!} = 1$.

الإجابة الصحيحة: n

في نظرية ذات الحدين، كل حد يكون على الصورة $x^{n-r}y^r$، ومجموع الأسس $(n-r)+r = n$.

الإجابة الصحيحة: 60

المعامل = $\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = 60$.

الإجابة الصحيحة: 6

$T_{r+1} = \binom{4}{r}x^{4-r}(x^{-1})^r = \binom{4}{r}x^{4-2r}$. للحد الثابت $4-2r=0 \Rightarrow r=2$، إذن $\binom{4}{2} = 6$.

الإجابة الصحيحة: 80

$T_{r+1} = \binom{5}{r}(1)^{5-r}(2x)^r$. لـ $x^4$ نضع $r=4$، إذن $\binom{5}{4} \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$.

الإجابة الصحيحة: 8

$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$. إذن $n=8$.

الإجابة الصحيحة: 32

مجموع المعاملات نحصل عليه بالتعويض $x = 1$: $(3 - 1)^5 = 2^5 = 32$.

الإجابة الصحيحة: $-80$

الحد العام ${}_{5}C_{r}\,x^{5-r}(-2y)^{r}$، ونأخذ $r = 3$: ${}_{5}C_{3}(-2)^3 = 10 \times (-8) = -80$. الخيار 10 هو معامل ذات الحدين وحده دون $(-2)^3$.

الإجابة الصحيحة: 160

$T_{r+1} = {}_{6}C_{r}\,x^{6-r}(2/x)^{r} = {}_{6}C_{r}\,2^{r}x^{6-2r}$. الحد الخالي من $x$ عندما $r = 3$: ${}_{6}C_{3} \times 2^3 = 20 \times 8 = 160$.

الإجابة الصحيحة: $-24$

$\frac{4!}{2!\,1!\,1!}\,a^{2}(2b)(-c) = 12 \times 2 \times (-1)\,a^2bc = -24\,a^2bc$.

الإجابة الصحيحة: 0

بالتعويض $x = -1$ في مفكوك $(1 + x)^8$ نحصل على $(1 - 1)^8 = 0$، وهو المجموع المتناوب للمعاملات.

المقدار يساوي $\binom{3}{0}x^3(3)^0 + \binom{3}{1}x^2(3)^1 + \binom{3}{2}x^1(3)^2 + \binom{3}{3}x^0(3)^3 = 1(x^3)(1) + 3(x^2)(3) + 3(x)(9) + 1(1)(27) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

الحد العام هو $T_{r+1} = \binom{6}{r}(2x)^{6-r}(1)^r$. نريد $6-r=4$ أي $r=2$. الحد هو $\binom{6}{2}(2x)^4 = 15 \times 16x^4 = 240x^4$.

المعامل هو $\frac{4!}{1!1!2!} = \frac{24}{1 \times 1 \times 2} = 12$.

الطرف الأيمن: $\binom{n}{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$. بما أن الضرب إبدالي، فهذا يساوي $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ وهو الطرف الأيسر.

المعامل هو $\binom{5}{2}$ أو $\binom{5}{3}$، وكلاهما يساوي $\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.

الحد الثالث هو $\binom{n}{2}x^2$. إذن $\frac{n(n-1)}{2} = 28 \Rightarrow n^2-n = 56 \Rightarrow n^2-n-56=0 \Rightarrow (n-8)(n+7)=0$. بما أن $n>0$، إذن $n=8$.

نكتب $9 = 1 + 8$، فيكون $9^n - 1 = (1 + 8)^n - 1$. بفك $(1 + 8)^n = {}_{n}C_{0} + {}_{n}C_{1}\,8 + {}_{n}C_{2}\,8^2 + \cdots + {}_{n}C_{n}\,8^n$ و ${}_{n}C_{0} = 1$، يكون $9^n - 1 = {}_{n}C_{1}\,8 + {}_{n}C_{2}\,8^2 + \cdots + {}_{n}C_{n}\,8^n = 8\left({}_{n}C_{1} + {}_{n}C_{2}\,8 + \cdots + {}_{n}C_{n}\,8^{n-1}\right)$، والقوس عدد صحيح، فالمقدار مضاعف للعدد 8.