أسئلة: التعبيرات النسبية

الإجابة الصحيحة: $x=4$

القيمة المستبعدة هي التي تجعل المقام صفراً، وبحل المعادلة $x-4=0$ نجد أن $x=4$.

الإجابة الصحيحة: $x+4$

بتحليل البسط فرق بين مربعين: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}$، بحذف $(x-4)$ نحصل على $x+4$.

الإجابة الصحيحة: $2x$

لجمع كسرين بمقامات مختلفة نوجد أصغر مضاعف مشترك للمقامات، وهو حاصل ضرب $x$ و $2$ أي $2x$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x}$

بالضرب نختصر $y$ مع $y$ و $x$ مع $x^2$ ليتبقى $\frac{1}{x}$.

الإجابة الصحيحة: $x=2, x=-3$

نجعل المقام يساوي صفراً: $(x-2)=0 \implies x=2$ و $(x+3)=0 \implies x=-3$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{D}{C}$

القسمة على كسر تعادل الضرب في مقلوبه، أي $\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{x}$

بما أن المقامات موحدة، نطرح البسوط: $3-1=2$، فيكون الناتج $\frac{2}{x}$.

الإجابة الصحيحة: $(x-2)(x-3)$

نبحث عن عددين حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $-5$، وهما $-2$ و $-3$.

الإجابة الصحيحة: $x+3$

بأخذ $2$ عامل مشترك من البسط: $\frac{2(x+3)}{2}$، ثم نحذف $2$ مع $2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

بضرب الكسر في مقلوبه، نختصر جميع الحدود ليكون الناتج $1$.

الإجابة الصحيحة: $x=5, x=-5$

المقام $x^2-25 = (x-5)(x+5)$، لذا القيم التي تجعله صفراً هي $5$ و $-5$.

الإجابة الصحيحة: $x-2$

تحليل البسط: $(x-2)(x+1)$، وبقسمته على $(x+1)$ نحصل على $(x-2)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x - 1}{x + 1}$

نضرب البسط والمقام في $x$: $\frac{x - 1}{x + 1}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3 - x}{(x - 2)(x + 1)}$

المقام المشترك $(x - 2)(x + 1)$، والبسط $(x + 5) - 2(x + 1) = 3 - x$. الخيار الأول ينتج عن نسيان توزيع الإشارة السالبة.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$

بتوحيد المقامات: $\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}$. الخيارات الأخرى أخطاء شائعة: جمع البسوط والمقامات مباشرة، واختصار حد مجموع، وعدم قلب الكسر عند القسمة.

الإجابة الصحيحة: $-1$

$2 - x = -(x - 2)$، فيكون الكسر $\frac{x - 2}{-(x - 2)} = -1$.

نحلل البسط: $(x-2)(x+2)$. نحلل المقام: $(x+3)(x-2)$. التعبير هو $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)}$. نحذف العامل المشترك $(x-2)$ لنحصل على $\frac{x+2}{x+3}$. القيم المستبعدة هي $x=2$ (من العامل المحذوف) و $x=-3$ (من المقام المتبقي).

المقام المشترك هو $(x-2)(x+2) = x^2-4$. نضرب البسط الأول في $(x+2)$ والبسط الثاني في $(x-2)$: $\frac{x+2 + x-2}{x^2-4} = \frac{2x}{x^2-4}$.

نحلل $x^2-9$ إلى $(x-3)(x+3)$. يصبح التعبير: $\frac{(x-3)(x+3)}{x} \times \frac{x^2}{x+3}$. نحذف $(x+3)$ ونختصر $x$ مع $x^2$ ليتبقى $x(x-3) = x^2-3x$.

لأن القسمة على صفر عملية غير معرفة في الرياضيات، وبالتالي فإن أي قيمة للمتغير تؤدي إلى جعل المقام صفراً تجعل التعبير النسبي غير معرف، مما يوجب استبعادها من مجال الدالة.

نحولها إلى ضرب في المقلوب: $\frac{x+5}{x-1} \times \frac{x-1}{(x-5)(x+5)}$. نحذف $(x+5)$ و $(x-1)$ من البسط والمقام، ليتبقى $\frac{1}{x-5}$.

تبسيط التعبير النسبي يعتمد على تحليل البسط والمقام وحذف العوامل المشتركة لتقليل التعبير إلى صورته الأولية. أما جمع التعبيرات النسبية فيتطلب أولاً توحيد المقامات بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCD) ثم جمع البسوط مع الحفاظ على المقام الموحد.

نضرب البسط والمقام في $x^2y^2$: البسط $xy^2 - x^2y = xy(y - x)$، والمقام $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$. بالاختصار على $(y - x)$ نحصل على $\frac{xy}{x + y}$.