أسئلة: المتطابقات والبراهين

الإجابة الصحيحة: المتطابقة تصح لكل قيم المتغير في مجالها، بينما المعادلة لقيم محددة فقط

المعادلة عبارة تصح عند قيم معينة للمتغير، أما المتطابقة فهي عبارة صحيحة لجميع قيم المتغير في مجالها.

الإجابة الصحيحة: 2 و 6 و 3

بمقارنة معاملات القوى المتناظرة: $a = 2$، و $b - 1 = 5$ أي $b = 6$، و $c = 3$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$ و $x = -1$

القيمتان $x = 2$ و $x = -1$ تجعلان أحد القوسين صفرًا، فنحصل مباشرة على $11 = 3B$ و $-4 = -3A$.

الإجابة الصحيحة: تحويل طرف واحد فقط بخطوات جبرية حتى يطابق الطرف الآخر

يجب تحويل أحد الطرفين (غالباً الأكثر تعقيداً) ليصل إلى صورة الطرف الآخر باستخدام قواعد الجبر.

الإجابة الصحيحة: إيجاد قيمة واحدة للمتغير لا تحققها

المتطابقة يجب أن تصح لكل قيم المتغير، فقيمة واحدة لا تحققها تنفي كونها متطابقة. أما التحقق عند بعض القيم فلا يثبت أنها متطابقة.

الإجابة الصحيحة: التعبير عن أحد المتغيرين بدلالة الآخر ($y = 1 - x$) والتعويض لحذفه

نستخدم الشرط لحذف متغير من المقدار، فيصبح التبسيط في متغير واحد.

الإجابة الصحيحة: $a = bk$ و $c = dk$

من تعريف النسبة: $\frac{a}{b} = k$ يعني $a = bk$، وكذلك $c = dk$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 + 6x + 9$

بتطبيق القاعدة: $(x)^2 + 2(x)(3) + (3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

الإجابة الصحيحة: $2(x + 1) = 2x + 2$

لأن الطرف الأيسر يساوي الأيمن مهما كانت قيمة $x$.

الإجابة الصحيحة: $-2(ab + bc + ca)$

من $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$ نحصل على $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)$.

الإجابة الصحيحة: لا، لأنها لا تصح لأي عدد حقيقي $x$

المتطابقة يجب أن تصح لكل قيم المتغير في مجالها، وهذه العبارة لا تصح لأي عدد حقيقي.

الإجابة الصحيحة: $-2$

بالتعويض $x = 1$: $2 - 5 + 1 = c$، أي $c = -2$. (وبمقارنة المعاملات: $a = 2$ و $b = -1$.)

الإجابة الصحيحة: لا، لأنها لا تصح عند $x = 0$ مثلًا

عند $x = 0$ يكون الطرف الأيسر $-1$ والأيمن $1$. وبالفك: $x^2 - 2x + 1$ تختلف عن $x^2 - 1$ في معامل $x$ والحد الثابت، فهي معادلة تصح عند $x = 1$ فقط.

الإجابة الصحيحة: تبسيط كل طرف على حدة حتى يصلا إلى التعبير نفسه

افتراض المساواة من البداية يفترض المطلوب إثباته، والتجربة بقيم لا تكفي؛ لذلك نبسط كل طرف منفصلًا.

الإجابة الصحيحة: 4.5

نفرض $x = 2k$ و $y = 3k$ و $z = 4k$: $\frac{2k + 3k + 4k}{2k} = \frac{9k}{2k} = 4.5$.

نبدأ من الطرف الأيسر: $(x-y)^2 = (x-y)(x-y)$. نقوم بتوزيع الضرب: $x(x) + x(-y) - y(x) - y(-y) = x^2 - xy - xy + y^2$. بجمع الحدود المتشابهة نحصل على: $x^2 - 2xy + y^2$ وهو الطرف الأيمن.

بمقارنة المعاملات: $a(x - 2) + b = ax + (b - 2a)$، فيكون $a = 3$ و $b - 2a = -7$ أي $b = -1$. بالتعويض: عند $x = 2$ يكون $6 - 7 = b$ أي $b = -1$، وعند $x = 0$ يكون $-7 = -2a + b = -2a - 1$ أي $a = 3$.

من الشرط $y = 1 - x$. الطرف الأيسر: $x^2 + (1 - x) = x^2 - x + 1$. الطرف الأيمن: $(1 - x)^2 + x = 1 - 2x + x^2 + x = x^2 - x + 1$. الطرفان متساويان، فالمساواة صحيحة.

نوزع الضرب في الطرف الأيسر: $a(a) + a(-b) + b(a) + b(-b) = a^2 - ab + ab - b^2$. نلاحظ أن $-ab$ و $+ab$ يلغيان بعضهما، فيتبقى $a^2 - b^2$ وهو الطرف الأيمن.

نفرض $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$، فيكون $a = bk$ و $c = dk$. الطرف الأيسر: $\frac{bk - b}{bk + b} = \frac{b(k - 1)}{b(k + 1)} = \frac{k - 1}{k + 1}$. الطرف الأيمن: $\frac{dk - d}{dk + d} = \frac{k - 1}{k + 1}$. الطرفان متساويان.

نفك الطرفين: $(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)$. عند طرح القوس الثاني، تتغير الإشارات: $x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$. نجمع الحدود المتشابهة: $(x^2-x^2) + (2xy+2xy) + (y^2-y^2) = 4xy$.