ملخص المتتابعات الهندسية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 2 — المتتابعات

مزرعة بكتيريا في معمل يتضاعف عدد خلاياها كل ساعة: 500 ثم 1000 ثم 2000 ثم 4000… بعد 10 ساعات كم يصبح العدد؟ هنا لا نضيف مقدارًا ثابتًا كما في المتتابعة الحسابية، بل نضرب في عدد ثابت. هذه المتتابعة الهندسية، وهي نموذج للنمو البيولوجي والفوائد المركبة والتضاؤل المتكرر.

أهداف التعلم

أن تميز المتتابعة الهندسية وتحدد أساسها.
أن تستخدم الحد العام $a_n = a_1 r^{n-1}$ لإيجاد حد أو الأساس أو رتبة حد.
أن تستخدم الوسط الهندسي وفرض ثلاثة حدود متتالية.
أن تحسب مجموع أول $n$ حدًّا من متتابعة هندسية.

شرح الدرس

المتتابعة الهندسية

المتتابعة هندسية إذا كانت النسبة بين أي حد والحد الذي قبله ثابتة، وتسمى الأساس $r$ (حيث $r \ne 0$ ):

\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \qquad a_n = a_1\,r^{\,n-1}

إذا كان $r > 1$ (والحدود موجبة) تتزايد الحدود بسرعة.
إذا كان $0 < r < 1$ تتناقص الحدود مقتربة من الصفر.
إذا كان $r < 0$ تتناوب إشارات الحدود.

مقارنة بين نقاط متتابعة حسابية تقع على خط مستقيم ونقاط متتابعة هندسية أساسها 2 تتضاعف فتصعد بسرعة متزايدة

الوسط الهندسي

إذا كانت $a, b, c$ حدودًا متتالية في متتابعة هندسية فإن $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ ، أي:

b^{2} = ac

ويسمى $b$ وسطًا هندسيًّا لـ $a$ و $c$ ، فللعددين الموجبين 4 و 9 وسطان هندسيان: $6$ و $-6$ . وعندما نعلم حاصل ضرب ثلاثة حدود متتالية يفيد فرضها $\frac{a}{r},\ a,\ ar$ لأن حاصل ضربها $a^{3}$ .

مجموع أول n حدًّا

لمتتابعة هندسية أساسها $r \ne 1$ :

S_n = \frac{a_1\,(r^{n} - 1)}{r - 1} = \frac{a_1\,(1 - r^{n})}{1 - r}

والصورتان متساويتان؛ نستخدم الأولى عادة عندما $r > 1$ والثانية عندما $r < 1$ . وإذا كان $r = 1$ فكل الحدود متساوية و $S_n = n\,a_1$ .

فكرة الصيغة: نكتب $S_n$ ، ثم نضربه في $r$ فتنزاح الحدود خطوة واحدة، وبطرح المجموعين تختفي كل الحدود إلا الأول والأخير: $rS_n - S_n = a_1 r^{n} - a_1$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (البكتيريا): $a_1 = 500$ و $r = 2$ . العدد في الساعة الحادية عشرة (بعد 10 ساعات من البداية):

\begin{aligned} a_{11} &= 500 \times 2^{10} \\ &= 500 \times 1024 \\ &= 512\,000 \end{aligned}

مثال 2 (إيجاد الأساس): متتابعة هندسية حدها الثاني 6 وحدها الخامس 162. من $a_1 r = 6$ و $a_1 r^{4} = 162$ نقسم: $r^{3} = 27$ فيكون $r = 3$ و $a_1 = 2$ .

مثال 3 (رتبة حد): ما رتبة الحد $\frac{3}{32}$ في المتتابعة $24, 12, 6, \ldots$ ؟ هنا $r = \frac{1}{2}$ ، ومن $24\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3}{32}$ نجد $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ ، أي $n = 9$ .

مثال 4 (ثلاثة حدود): ثلاثة أعداد في متتابعة هندسية حاصل ضربها 216 ومجموعها 26. نفرضها $\frac{a}{r}, a, ar$ : الضرب $a^{3} = 216$ أي $a = 6$ ، والمجموع $\frac{6}{r} + 6 + 6r = 26$ أي $6r^{2} - 20r + 6 = 0$ أو $3r^{2} - 10r + 3 = 0$ ، فيكون $r = 3$ أو $r = \frac{1}{3}$ ، والأعداد $2, 6, 18$ .

مثال 5 (مجموع): مجموع أول 6 حدود من $3, 6, 12, \ldots$ :

S_6 = \frac{3\,(2^{6} - 1)}{2 - 1} = 3 \times 63 = 189

مثال 6 (ادخار): ادّخرت طالبة 10 جنيهات في الأسبوع الأول، ثم ضاعفت المبلغ كل أسبوع. مجموع ما ادّخرته في 8 أسابيع $S_8 = \frac{10(2^{8} - 1)}{1} = 2550$ جنيهًا.

ملاحظات مهمة

الحد العام يستخدم الأس $n - 1$ لا $n$ .
عند إيجاد $r$ من $r^{2} = 9$ مثلًا تذكّر احتمالين: $r = 3$ و $r = -3$ ، إلا إذا اشترطت المسألة حدودًا موجبة.
لا يوجد صفر بين حدود متتابعة هندسية، والأساس لا يكون صفرًا.
لا تستخدم صيغة المجموع الكسرية عندما $r = 1$ لأن المقام يصبح صفرًا.

المفاهيم الأساسية

هندسية: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ ، و $a_n = a_1 r^{n-1}$ .
الوسط الهندسي: $b^{2} = ac$ .
فرض ثلاثة حدود: $\frac{a}{r}, a, ar$ .
$S_n = \frac{a_1(r^{n} - 1)}{r - 1}$ حيث $r \ne 1$ ، و $S_n = n a_1$ عندما $r = 1$ .

ملخص الدرس

في المتتابعة الهندسية يُضرب كل حد في عدد ثابت هو الأساس $r$ للحصول على الحد التالي، فيكون حدها العام $a_1 r^{n-1}$ ، وتنمو حدودها بسرعة إذا زاد الأساس على 1 وتتضاءل إذا كان بين 0 و1. والحد الأوسط بين حدين متتاليين وسطهما الهندسي ( $b^{2} = ac$ )، ونحسب مجموع أول $n$ حدًّا بالصيغة $\frac{a_1(r^{n} - 1)}{r - 1}$ .

أسئلة للتدريب

أوجد الحد الثامن من المتتابعة $2, -6, 18, \ldots$ .
متتابعة هندسية موجبة الحدود حدها الثالث 20 وحدها الخامس 80. أوجد حدها الأول وأساسها.
أوجد الوسطين الهندسيين للعددين 5 و 45.
أوجد مجموع أول 7 حدود من المتتابعة $1, 3, 9, \ldots$ .
تفقد كرة مطاطية ثلث ارتفاعها في كل ارتداد. إذا سقطت من ارتفاع 81 سم، فما ارتفاع ارتدادها الرابع؟