ملخص المعادلات التربيعية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 3 — الأعداد المركّبة والمعادلات

بعد أن تعرفنا على الأعداد المركبة صار لكل معادلة تربيعية حلان دائمًا. في هذا الدرس نتعلم كيف نعرف نوع الحلين دون أن نحسبهما، وكيف نستخدم مجموعهما وحاصل ضربهما لحل مسائل كثيرة، ثم ننتقل إلى أدوات مهمة لكثيرات الحدود: نظرية الباقي ونظرية العامل والقسمة التركيبية.

أهداف التعلم

أن تحل المعادلة التربيعية في مجموعة الأعداد المركبة وتحدد نوع جذريها بالمميّز.
أن تستخدم العلاقة بين الجذرين والمعاملات لحساب مقادير متماثلة ولإيجاد ثوابت مجهولة.
أن تحلل مقدارًا تربيعيًّا في الأعداد المركبة وتكوّن معادلة علم جذراها.
أن تحدد مدى ثابت يجعل الجذرين موجبين أو سالبين أو مختلفي الإشارة.
أن تستخدم نظرية الباقي ونظرية العامل والقسمة التركيبية.

شرح الدرس

حل المعادلة والمميّز

للمعادلة $ax^{2} + bx + c = 0$ حيث $a \ne 0$ (والمعاملات حقيقية) الحلان:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

والمقدار $D = b^{2} - 4ac$ هو المميّز:

قيمة المميّز	نوع الجذرين
$D > 0$	حقيقيان مختلفان
$D = 0$	حقيقيان متساويان (جذر مكرر)
$D < 0$	مركّبان غير حقيقيين، وكل منهما مرافق للآخر

وإذا كان $b$ زوجيًّا ( $b = 2b'$ ) يمكن استخدام $\frac{D}{4} = b'^{2} - ac$ لتبسيط الحساب.

العلاقة بين الجذرين والمعاملات

إذا كان $\alpha$ و $\beta$ جذري $ax^{2} + bx + c = 0$ فإن:

\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}

وأي مقدار متماثل في الجذرين نكتبه بدلالة المجموع والضرب، مثل:

\alpha^{2} + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta

\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}

(\alpha - \beta)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha\beta

علاقة بين الجذرين: إذا ذُكر أن أحد الجذرين ضعف الآخر نفرضهما $\alpha$ و $2\alpha$ ، وإذا كان الفرق بينهما 5 نفرضهما $\alpha$ و $\alpha + 5$ ، ثم نطبق علاقتي المجموع والضرب.

التحليل وتكوين المعادلة

إذا كان $\alpha$ و $\beta$ جذري $ax^{2} + bx + c = 0$ فإن $ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ (لا تنسَ المعامل $a$ ). ولهذا فالمعادلة التي جذراها $\alpha$ و $\beta$ هي:

x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0

إشارتا الجذرين الحقيقيين

المطلوب	الشروط
جذران موجبان مختلفان	$D > 0$ و $\alpha + \beta > 0$ و $\alpha\beta > 0$
جذران سالبان مختلفان	$D > 0$ و $\alpha + \beta < 0$ و $\alpha\beta > 0$
جذران مختلفا الإشارة	$\alpha\beta < 0$ فقط (فيكون $D > 0$ تلقائيًّا)

نظرية الباقي ونظرية العامل

نظرية الباقي: باقي قسمة كثيرة الحدود $P(x)$ على $x - k$ هو $P(k)$ ؛ لأن $P(x) = (x - k)Q(x) + R$ ، وبالتعويض $x = k$ نجد $R = P(k)$ . وباقي القسمة على $ax - b$ هو $P\left(\frac{b}{a}\right)$ .

الباقي عند القسمة على مقدار تربيعي: الباقي من درجة أقل من المقسوم عليه، فنفرضه $mx + n$ ، ونكتب $P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)Q(x) + mx + n$ ، ثم نعوض $x = \alpha$ و $x = \beta$ لنحصل على معادلتين.

نظرية العامل: $x - k$ عامل من عوامل $P(x)$ إذا وفقط إذا كان $P(k) = 0$ .

القسمة التركيبية

طريقة مختصرة لقسمة $P(x)$ على $x - k$ باستخدام المعاملات فقط: نكتب المعاملات (مع صفر مكان أي حد ناقص)، ننزل المعامل الأول، ثم نكرر: نضرب في $k$ ونضيف إلى المعامل التالي. الأعداد الناتجة معاملات خارج القسمة، وآخرها الباقي.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (المميّز): في $x^{2} - 4x + 7 = 0$ : $D = 16 - 28 = -12 < 0$ ، فالجذران مركّبان مترافقان:

\begin{aligned} x &= \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2} \\ &= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} \\ &= 2 \pm \sqrt{3}\,i \end{aligned}

مثال 2 (قيمة ثابت): لكي يكون للمعادلة $x^{2} + kx + 9 = 0$ جذر مكرر: $k^{2} - 36 = 0$ أي $k = \pm 6$ .

مثال 3 (مقدار متماثل): إذا كان $\alpha$ و $\beta$ جذري $2x^{2} - 6x + 3 = 0$ فإن $\alpha + \beta = 3$ و $\alpha\beta = \frac{3}{2}$ :

\begin{gathered} \begin{aligned} \alpha^{2} + \beta^{2} &= 9 - 3 \\ &= 6 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} &= \frac{3}{3/2} \\ &= 2 \end{aligned} \end{gathered}

مثال 4 (علاقة بين الجذرين): إذا كان أحد جذري $x^{2} - 9x + k = 0$ ضعف الآخر: نفرضهما $\alpha$ و $2\alpha$ ، فيكون $3\alpha = 9$ أي $\alpha = 3$ ، والجذران 3 و 6، و $k = 18$ .

مثال 5 (تحليل في الأعداد المركبة): جذرا $x^{2} + 2x + 5 = 0$ هما $-1 \pm 2i$ ، إذن:

\begin{aligned} &x^{2} + 2x + 5 \\ &= \bigl(x - (-1 + 2i)\bigr)\bigl(x - (-1 - 2i)\bigr) \\ &= (x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i) \end{aligned}

مثال 6 (تكوين معادلة): المعادلة التي جذراها $3 + i$ و $3 - i$ : المجموع 6 والضرب $9 - i^{2} = 10$ ، فهي $x^{2} - 6x + 10 = 0$ .

مثال 7 (إشارتا الجذرين): متى يكون للمعادلة $x^{2} - 2mx + 2m + 3 = 0$ جذران موجبان مختلفان؟

شرط المميّز:

\begin{aligned} \frac{D}{4} &= m^{2} - 2m - 3 \\ &= (m - 3)(m + 1) > 0 \end{aligned}

أي $m < -1$ أو $m > 3$ .

المجموع $2m > 0$ أي $m > 0$ ، والضرب $2m + 3 > 0$ أي $m > -\frac{3}{2}$ .
المنطقة المشتركة: $m > 3$ .

مثال 8 (نظرية الباقي والعامل): باقي قسمة $P(x) = x^{3} - 2x^{2} + 4$ على $x + 1$ هو $P(-1) = -1 - 2 + 4 = 1$ . وإذا كان $x - 2$ عاملًا لـ $x^{3} + kx - 6$ فإن $8 + 2k - 6 = 0$ أي $k = -1$ .

مثال 9 (باقي القسمة على مقدار تربيعي): كثيرة حدود باقي قسمتها على $x - 1$ هو 4 وعلى $x + 2$ هو $-5$ . لإيجاد باقي قسمتها على $(x - 1)(x + 2)$ نفرضه $mx + n$ : من $P(1) = 4$ نجد $m + n = 4$ ، ومن $P(-2) = -5$ نجد $-2m + n = -5$ ، فيكون $m = 3$ و $n = 1$ ، والباقي $3x + 1$ .

مثال 10 (قسمة تركيبية): اقسم $2x^{3} - 3x^{2} + 5$ على $x - 2$ . المعاملات $2, -3, 0, 5$ (الصفر مكان حد $x$ )، والعدد $k = 2$ على اليسار:

\begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 0 & 5 \\ & & 4 & 2 & 4 \\ \hline & 2 & 1 & 2 & 9 \end{array}

خارج القسمة $2x^{2} + x + 2$ والباقي 9، وهو يساوي $P(2) = 16 - 12 + 5 = 9$ .

ملاحظات مهمة

إذا كانت المعاملات حقيقية وكان أحد الجذرين $p + qi$ فإن الجذر الآخر مرافقه $p - qi$ .
مجموع الجذرين $-\frac{b}{a}$ بإشارة سالبة؛ الخطأ الشائع نسيان هذه الإشارة.
في مسائل الإشارات لا يلزم شرط المميّز عندما يكون الجذران مختلفي الإشارة.
في القسمة التركيبية ضع صفرًا مكان كل حد ناقص، واستخدم $k = -3$ عند القسمة على $x + 3$ .

المفاهيم الأساسية

$D = b^{2} - 4ac$ : موجب ← جذران حقيقيان مختلفان، صفر ← جذر مكرر، سالب ← جذران مركّبان مترافقان.
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ و $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ .
المعادلة التي جذراها $\alpha, \beta$ : $x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ .
$ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ .
باقي قسمة $P(x)$ على $x - k$ هو $P(k)$ ، و $x - k$ عامل إذا وفقط إذا $P(k) = 0$ .

ملخص الدرس

كل معادلة تربيعية لها جذران في الأعداد المركبة، والمميّز يحدد نوعهما: حقيقيان مختلفان أو متساويان أو مركّبان مترافقان. ومجموع الجذرين $-\frac{b}{a}$ وحاصل ضربهما $\frac{c}{a}$ ، وبهما نحسب مقادير متماثلة ونكوّن معادلة علم جذراها ونحدد متى يكون الجذران موجبين أو سالبين أو مختلفي الإشارة. ونظرية الباقي تعطي باقي قسمة كثيرة حدود على $x - k$ بالتعويض فقط، ونظرية العامل حالتها الخاصة عندما يكون الباقي صفرًا، والقسمة التركيبية تعطي خارج القسمة والباقي بسرعة.

أسئلة للتدريب

حدد نوع جذري $3x^{2} - 2x + 1 = 0$ ثم أوجدهما.
إذا كان $\alpha$ و $\beta$ جذري $x^{2} - 5x + 2 = 0$ فأوجد $\alpha^{2} + \beta^{2}$ و $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ .
كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها $1 + 2i$ و $1 - 2i$ .
أوجد مدى $m$ الذي يجعل جذري $x^{2} + 4x + m - 1 = 0$ مختلفي الإشارة.
أوجد باقي قسمة $x^{4} - 3x^{2} + x$ على $x + 2$ ، ثم تحقق بالقسمة التركيبية.