ملخص المعادلات ذات الدرجة العالية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 3 — الأعداد المركّبة والمعادلات

المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة تظهر في نمذجة ظواهر أعقد من أن يصفها قطع مكافئ، مثل تغير سرعة تدفق الدم عبر شريان متضيق. لا نملك هنا قانونًا عامًّا بسيطًا كقانون المعادلة التربيعية، لكننا نملك استراتيجية فعالة: نحلل كثيرة الحدود إلى عوامل من الدرجة الأولى والثانية، ثم نحل كل عامل. وفي الأعداد المركبة يكون لمعادلة الدرجة $n$ عدد $n$ من الجذور (مع حساب الجذور المكررة).

أهداف التعلم

أن تحل معادلات تكعيبية ورباعية بالتحليل ونظرية العامل والتعويض.
أن تجد معاملات مجهولة في معادلة تكعيبية علم أحد جذورها (حقيقيًّا أو مركّبًا) وتجد بقية الجذور.
أن تستخدم خواص الجذر التكعيبي التخيلي للواحد $\omega$ لتبسيط المقادير.
أن تجد قيمة ثابت تجعل لمعادلة تكعيبية جذرًا مكررًا.

شرح الدرس

خطوات حل التكعيبية والرباعية

التحليل:
- صورة $x^{3} \pm a^{3}$ : نستخدم $x^{3} - a^{3} = (x - a)(x^{2} + ax + a^{2})$ و $x^{3} + a^{3} = (x + a)(x^{2} - ax + a^{2})$ .
- معادلة رباعية فيها $x^{4}$ و $x^{2}$ والحد الثابت فقط: نعامل $x^{2}$ ككتلة واحدة (نضع $y = x^{2}$ ).
- غير ذلك: نبحث عن جذر بتجربة قواسم الحد الثابت (نظرية العامل)، ثم نقسم بالقسمة التركيبية.
إيجاد الحلول: كل عامل من الدرجة الأولى يعطي جذرًا، وكل عامل تربيعي لا يتحلل نحله بالقانون العام.

تعيين معادلة تكعيبية علم أحد جذورها

إذا عُلم جذر نعوض به في المعادلة. فإذا كان الجذر مركّبًا مثل $2 + i$ نكتب الناتج في الصورة $A + Bi = 0$ ، ونساوي الجزأين الحقيقي والتخيلي بالصفر فنحصل على معادلتين. ومع معاملات حقيقية يكون المرافق جذرًا أيضًا.

الجذور التكعيبية للواحد

العدد الذي مكعبه 1 يسمى جذرًا تكعيبيًّا للواحد. من $x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1) = 0$ نجد $x = 1$ أو:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}

ونرمز لأي من الجذرين التخيليين بالرمز $\omega$ (أوميجا)، فيكون الجذر الآخر $\omega^{2}$ (وهو مرافق $\omega$ ). وأهم خاصيتين:

\omega^{3} = 1 \qquad \omega^{2} + \omega + 1 = 0

طريقة التبسيط: نخفض القوى أولًا باستخدام $\omega^{3} = 1$ ، ثم نستخدم $\omega^{2} + \omega + 1 = 0$ في صور مثل $\omega + 1 = -\omega^{2}$ و $\omega^{2} + 1 = -\omega$ و $\omega + \omega^{2} = -1$ . ومن المفيد أيضًا: $\omega^{2} = \frac{1}{\omega}$ لأن $\omega \cdot \omega^{2} = 1$ .

المعادلة التكعيبية ذات الجذر المكرر

نحلل كثيرة الحدود بنظرية العامل إلى $(x - k)(x^{2} + bx + c)$ . ويكون للمعادلة جذر مكرر في حالتين:

الحالة الأولى: $x = k$ جذر للعامل التربيعي $x^{2} + bx + c = 0$ أيضًا؛ فنعوض $x = k$ فيه.
الحالة الثانية: للعامل التربيعي نفسه جذر مكرر؛ فنضع مميّزه $D = 0$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (فرق مكعبين): $x^{3} - 8 = 0$ تتحلل إلى $(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$ :

\begin{gathered} x = 2 \\ \text{أو} \\ \begin{aligned} x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{3}\,i \end{aligned} \end{gathered}

مثال 2 (رباعية بالتعويض): $x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0$ . نضع $y = x^{2}$ : $y^{2} - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1) = 0$ ، فيكون $x^{2} = 4$ أي $x = \pm 2$ ، أو $x^{2} = -1$ أي $x = \pm i$ .

مثال 3 (نظرية العامل): $x^{3} - 3x^{2} + 4x - 2 = 0$ . التعويض $x = 1$ يعطي $1 - 3 + 4 - 2 = 0$ ، فـ $x - 1$ عامل. بالقسمة التركيبية على المعاملات $1, -3, 4, -2$ نجد خارج القسمة $x^{2} - 2x + 2$ ، وجذراه $1 \pm i$ . الحلول: $1$ و $1 + i$ و $1 - i$ .

مثال 4 (جذر مركّب معلوم): إذا كان $1 + i$ جذرًا للمعادلة $x^{3} + ax^{2} + bx + 4 = 0$ حيث $a, b$ حقيقيان. نحسب $(1 + i)^{2} = 2i$ و $(1 + i)^{3} = 2i(1 + i) = -2 + 2i$ ، ونعوض:

\begin{aligned} &(-2 + 2i) + a(2i) + b(1 + i) + 4 \\ &= (2 + b) + (2 + 2a + b)i \\ &= 0 \end{aligned}

إذن $b = -2$ ، و $2 + 2a - 2 = 0$ أي $a = 0$ . فالمعادلة $x^{3} - 2x + 4 = 0$ ، والجذر المرافق $1 - i$ أيضًا جذر، وحاصل ضرب العاملين $(x - 1 - i)(x - 1 + i) = x^{2} - 2x + 2$ ، فيكون $x^{3} - 2x + 4 = (x + 2)(x^{2} - 2x + 2)$ ، والجذر الثالث $-2$ .

مثال 5 (أوميجا):

\begin{aligned} \omega^{10} + \omega^{5} &= \omega^{9}\omega + \omega^{3}\omega^{2} \\ &= \omega + \omega^{2} \\ &= -1 \end{aligned}

\begin{aligned} (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) &= (-\omega^{2})(-\omega) \\ &= \omega^{3} \\ &= 1 \end{aligned}

مثال 6 (جذر مكرر): أوجد قيم الثابت $a$ التي تجعل للمعادلة $x^{3} + (a - 1)x - a = 0$ جذرًا مكررًا. التعويض $x = 1$ يعطي $1 + a - 1 - a = 0$ ، فـ $x - 1$ عامل، والقسمة تعطي:

(x - 1)(x^{2} + x + a) = 0

الحالة الأولى: $x = 1$ جذر لـ $x^{2} + x + a = 0$ : $1 + 1 + a = 0$ أي $a = -2$ ، وتصبح المعادلة $(x - 1)^{2}(x + 2) = 0$ .
الحالة الثانية: $D = 1 - 4a = 0$ أي $a = \frac{1}{4}$ ، وتصبح المعادلة $(x - 1)\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} = 0$ .

إذن $a = -2$ أو $a = \frac{1}{4}$ .

ملاحظات مهمة

ابدأ تجربة نظرية العامل بالأعداد الصغيرة من قواسم الحد الثابت: $\pm 1, \pm 2, \ldots$
عند إيجاد جذور $x^{3} = 8$ لا تكتفِ بالجذر الحقيقي 2؛ فهناك جذران مركّبان آخران.
في مسائل $\omega$ لا تعوض بالقيمة $\frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ إلا عند الضرورة؛ الخاصيتان تكفيان غالبًا.
في مسائل الجذر المكرر لا تنسَ فحص الحالتين معًا.

المفاهيم الأساسية

لمعادلة الدرجة $n$ عدد $n$ من الجذور في الأعداد المركبة (مع حساب المكرر).
$x^{3} - a^{3} = (x - a)(x^{2} + ax + a^{2})$ و $x^{3} + a^{3} = (x + a)(x^{2} - ax + a^{2})$ .
الرباعية $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$ تُحل بالتعويض $y = x^{2}$ .
جذور الواحد التكعيبية: $1, \omega, \omega^{2}$ ، حيث $\omega^{3} = 1$ و $\omega^{2} + \omega + 1 = 0$ .
الجذر المكرر في $(x - k)(x^{2} + bx + c) = 0$ : إما $k$ جذر للعامل التربيعي أو $D = 0$ .

ملخص الدرس

نحل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة بتحليلها إلى عوامل: بمتطابقتي مجموع المكعبين والفرق بينهما، أو بالتعويض $y = x^{2}$ في الرباعية ذات القوى الزوجية، أو بنظرية العامل والقسمة التركيبية، ثم نحل العوامل التربيعية بالقانون العام. وإذا عُلم أحد الجذور عوضنا به لإيجاد المعاملات المجهولة. وللواحد ثلاثة جذور تكعيبية $1, \omega, \omega^{2}$ تحقق $\omega^{3} = 1$ و $\omega^{2} + \omega + 1 = 0$ ، ويكون للمعادلة التكعيبية جذر مكرر إذا كان جذر العامل الخطي جذرًا للعامل التربيعي أو كان مميّز العامل التربيعي صفرًا.

أسئلة للتدريب

حل المعادلة $x^{3} + 27 = 0$ في الأعداد المركبة.
حل المعادلة $x^{4} + x^{2} - 12 = 0$ .
حل المعادلة $x^{3} - 4x^{2} + 6x - 4 = 0$ .
إذا كان $\omega$ جذرًا تكعيبيًّا تخيليًّا للواحد فأوجد $\omega^{20} + \omega^{10} + 1$ و $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^{2}}$ .
أوجد قيم $a$ التي تجعل للمعادلة $x^{3} - (a + 1)x + a = 0$ جذرًا مكررًا.