أسئلة: المعادلات التربيعية

الإجابة الصحيحة: $-8$

المميز $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8$.

الإجابة الصحيحة: جذر حقيقي واحد مكرر

عندما يكون المميز $\Delta=0$، يكون الجذران متساويين (جذر مكرر).

الإجابة الصحيحة: $2$

مجموع الجذرين $= -b/a = -(-8)/4 = 8/4 = 2$.

الإجابة الصحيحة: $3.5$

حاصل ضرب الجذرين $= c/a = 7/2 = 3.5$.

الإجابة الصحيحة: $3-i$

الجذور المركبة لمعادلة بمعاملات حقيقية تكون مترافقة، فإذا كان $3+i$ جذراً، فالمرافق $3-i$ هو الجذر الآخر.

الإجابة الصحيحة: $14$

$x_1+x_2=4$ و $x_1x_2=1$. إذن $x_1^2+x_2^2=(4)^2 - 2(1) = 16-2 = 14$.

الإجابة الصحيحة: $x^2-2x+5=0$

المعادلة $x^2-2x+5=0$ لها مميز $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$.

الإجابة الصحيحة: $1 \pm i$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 - 5x + 6 = 0$

المعادلة التي جذراها $\alpha$ و $\beta$ هي $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$، أي $x^2 - 5x + 6 = 0$ (وجذراها 2 و 3).

الإجابة الصحيحة: حقيقيان مختلفان

المميز $\Delta = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 > 0$.

الإجابة الصحيحة: $q$

حاصل ضرب الجذرين يساوي الحد المطلق $c/a = q/1 = q$.

الإجابة الصحيحة: $-2$

مجموع الجذرين $= -b/a = -10/5 = -2$.

الإجابة الصحيحة: 5

باستخدام نظرية الباقي، $R = P(1) = (1)^2+3(1)+1 = 1+3+1 = 5$.

الإجابة الصحيحة: 1

باستخدام نظرية الباقي، $R = P(-2) = (-2)^3-2(-2)+5 = -8+4+5 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $(x-3)$

باستخدام نظرية العامل، إذا كان $(x-3)$ عاملًا، فإن $P(3)=0$. $P(3) = (3)^2-(3)-6 = 9-3-6 = 0$.

الإجابة الصحيحة: كل ما سبق

نحسب $P(a)$ لكل خيار: $P(-1) = (-1)^3+2(-1)^2+3(-1)+4 = -1+2-3+4 = 2 \ne 0$. $P(1) = (1)^3+2(1)^2+3(1)+4 = 1+2+3+4 = 10 \ne 0$. $P(2) = (2)^3+2(2)^2+3(2)+4 = 8+8+6+4 = 26 \ne 0$. بما أن لا شيء منها يعطي صفرًا، فكلها ليست عوامل.

الإجابة الصحيحة: $-3$

المعاملات $1, -4, 5, -2$ و $k = 1$: ننزل 1، ثم $-4 + 1 = -3$، ثم $5 - 3 = 2$، ثم $-2 + 2 = 0$. خارج القسمة $x^2 - 3x + 2$ ومعامل $x$ فيه $-3$، والباقي صفر.

الإجابة الصحيحة: 1

باستخدام نظرية الباقي، $R = P(1) = (1)^4-(1)^3+(1)^2-(1)+1 = 1-1+1-1+1 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $(x-a)$ عامل لـ $P(x)$ إذا وفقط إذا كان $P(a)=0$.

هذا هو التعريف المباشر لنظرية العامل كما ورد في الدرس.

الإجابة الصحيحة: باقي قسمة $P(x)$ على $(x-a)$ هو $P(a)$.

هذا هو التعريف المباشر لنظرية الباقي كما ورد في الدرس.

الإجابة الصحيحة: 3

بما أن $(x-2)$ عامل، إذن $P(2)=0$. $P(2) = (2)^3-k(2)^2+4(2)-4 = 8-4k+8-4 = 12-4k$. نساويها بالصفر: $12-4k=0 \implies 4k=12 \implies k=3$.

الإجابة الصحيحة: 3

باستخدام نظرية الباقي، $P(-1)=3$. $P(-1) = (-1)^2+a(-1)+5 = 1-a+5 = 6-a$. نساويها بالباقي: $6-a=3 \implies a=3$.

الإجابة الصحيحة: $(x+1)(x-2)(x+2)$

بما أن $(x+1)$ عامل، نقسم $P(x)$ على $(x+1)$ باستخدام القسمة التركيبية بـ $a=-1$: المعاملات $1, 1, -4, -4$. ننزل 1، نضرب في $-1$ ونجمع: $1, (1-1)=0, (0-4)=-4, (-4+4)=0$. خارج القسمة هو $x^2-4$. بتحليل $x^2-4$ نحصل على $(x-2)(x+2)$. إذن التحليل الكامل هو $(x+1)(x-2)(x+2)$.

الإجابة الصحيحة: عندما يكون المقسوم عليه مقدارًا من الدرجة الأولى على الصورة $(x-a)$ أو $(x+a)$.

القسمة التركيبية مصممة خصيصًا للقسمة على مقادير من الدرجة الأولى على الصورة $(x-a)$ أو ما يكافئها.

الإجابة الصحيحة: $m < 3$

الجذران مختلفا الإشارة إذا كان حاصل ضربهما سالبًا: $m - 3 < 0$ أي $m < 3$، ولا نحتاج شرط المميّز في هذه الحالة.

الإجابة الصحيحة: $-2x + 4$

نفرض الباقي $mx + n$. من $P(1) = 2$: $m + n = 2$، ومن $P(-1) = 6$: $-m + n = 6$. بالجمع $n = 4$ ثم $m = -2$، فالباقي $-2x + 4$.

الإجابة الصحيحة: $27$

نفرض الجذرين $\alpha$ و $3\alpha$: المجموع $4\alpha = 12$ أي $\alpha = 3$، والجذران 3 و 9، و $k = 3 \times 9 = 27$.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما $10$ ومجموعهما $-7$ وهما $-2$ و $-5$. إذن $(x-2)(x-5)=0$ ومنه $x=2$ أو $x=5$.

المعاملات: $a=1, b=-4, c=5$. المميز $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16-20 = -4$. الجذران $x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$.

$x_1+x_2 = -4/2 = -2$ و $x_1x_2 = -3/2 = -1.5$. المقدار $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2(-1.5) = 4 + 3 = 7$.

نحسب المميز $\Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36-36 = 0$. بما أن المميز يساوي صفر، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد مكرر.

للحصول على جذرين متساويين يجب أن يكون المميز $\Delta = 0$. إذن $(-4)^2 - 4(1)(k) = 0 \implies 16 - 4k = 0 \implies 4k = 16 \implies k = 4$.

حاصل ضرب الجذرين $= c/a = 2/a$. معطى أن حاصل الضرب يساوي $0.5$ (أي $1/2$). إذن $2/a = 1/2 \implies a = 4$.

نستخدم القسمة التركيبية مع $a=-1$ ومعاملات $P(x)$ وهي $1, 2, -5, -6$: ننزل 1. $1 \times (-1) = -1$. نجمع $2+(-1)=1$. $1 \times (-1) = -1$. نجمع $-5+(-1)=-6$. $-6 \times (-1) = 6$. نجمع $-6+6=0$. خارج القسمة هو $Q(x)=x^2+x-6$ والباقي $R=0$. الآن نحلل $Q(x)$: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$. إذن التحليل الكامل لـ $P(x)$ هو $(x+1)(x+3)(x-2)$.

نستخدم القسمة التركيبية مع $a=1$ ومعاملات $P(x)$ وهي $1, -3, 1, -2, 1$: ننزل 1. $1 \times 1 = 1$. نجمع $-3+1=-2$. $-2 \times 1 = -2$. نجمع $1+(-2)=-1$. $-1 \times 1 = -1$. نجمع $-2+(-1)=-3$. $-3 \times 1 = -3$. نجمع $1+(-3)=-2$. خارج القسمة هو $Q(x)=x^3-2x^2-x-3$ والباقي $R=-2$.

تنص نظرية الباقي على أن باقي قسمة كثيرة الحدود $P(x)$ على مقدار من الدرجة الأولى $(x-a)$ يساوي قيمة الدالة $P(x)$ عند $x=a$، أي $R=P(a)$. المثال: لإيجاد باقي قسمة $P(x)=x^3+x^2-x+1$ على $(x-2)$، نستخدم نظرية الباقي بحساب $P(2)$. $P(2) = (2)^3+(2)^2-(2)+1 = 8+4-2+1 = 11$. إذن باقي القسمة هو 11.

تنص نظرية العامل على أن المقدار $(x-a)$ يكون عاملًا لكثيرة الحدود $P(x)$ إذا وفقط إذا كان باقي قسمة $P(x)$ على $(x-a)$ يساوي صفرًا، أي أن $P(a)=0$. ترتبط نظرية العامل بنظرية الباقي ارتباطًا وثيقًا؛ فنظرية العامل هي حالة خاصة من نظرية الباقي. إذا كان الباقي $R$ في نظرية الباقي ($R=P(a)$) يساوي صفرًا، فهذا يعني أن $P(a)=0$، وهو ما يؤكد أن $(x-a)$ عامل لكثيرة الحدود $P(x)$ دون باقي.

بما أن $(x-1)$ عامل، إذن $P(1)=0$: $P(1) = (1)^3+a(1)^2+b(1)-2 = 1+a+b-2 = a+b-1$. نساويها بالصفر: $a+b-1=0 \implies a+b=1$ (المعادلة 1). بما أن $(x+2)$ عامل، إذن $P(-2)=0$: $P(-2) = (-2)^3+a(-2)^2+b(-2)-2 = -8+4a-2b-2 = 4a-2b-10$. نساويها بالصفر: $4a-2b-10=0 \implies 4a-2b=10 \implies 2a-b=5$ (المعادلة 2). بجمع المعادلتين (1) و (2): $(a+b) + (2a-b) = 1+5 \implies 3a=6 \implies a=2$. بالتعويض عن $a=2$ في المعادلة (1): $2+b=1 \implies b=-1$. إذن، كثيرة الحدود هي $P(x)=x^3+2x^2-x-2$. بما أن $(x-1)$ و $(x+2)$ عاملين، فإن $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ هو أيضًا عامل. نقسم $P(x)$ على $x^2+x-2$ باستخدام القسمة المطولة أو التركيبية (لأننا نعرف عاملين): $P(x) = (x-1)(x+2)(x+c)$. نلاحظ أن الحد الثابت في $P(x)$ هو $-2$. وفي التحليل $(x-1)(x+2)(x+c)$، الحد الثابت هو $(-1)(2)(c) = -2c$. بمساواة الحدين الثابتين: $-2c = -2 \implies c=1$. إذن، التحليل الكامل لـ $P(x)$ هو $(x-1)(x+2)(x+1)$.

لإيجاد الجذور، نبحث أولًا عن عوامل من الدرجة الأولى باستخدام نظرية العامل. نجرب قواسم الحد الثابت $-6$، وهي $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. نبدأ بـ $x=1$: $P(1) = (1)^3-6(1)^2+11(1)-6 = 1-6+11-6 = 0$. بما أن $P(1)=0$، فإن $(x-1)$ عامل لـ $P(x)$. إذن $x=1$ هو أحد الجذور. نستخدم القسمة التركيبية لتقسيم $P(x)$ على $(x-1)$ بمعاملات $1, -6, 11, -6$ و $a=1$: ننزل 1. $1 \times 1 = 1$. نجمع $-6+1=-5$. $-5 \times 1 = -5$. نجمع $11+(-5)=6$. $6 \times 1 = 6$. نجمع $-6+6=0$. خارج القسمة هو $Q(x)=x^2-5x+6$. الآن نحلل $Q(x)$ لإيجاد الجذور المتبقية: $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$. الجذور هي القيم التي تجعل هذه العوامل تساوي صفرًا، وهي $x=2$ و $x=3$. إذن، جميع جذور كثيرة الحدود $P(x)$ هي $1, 2, 3$.

الشروط: $D > 0$ و $\alpha + \beta < 0$ و $\alpha\beta > 0$. (1) $\frac{D}{4} = m^2 - (m + 2) = m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1) > 0$ أي $m < -1$ أو $m > 2$. (2) $\alpha + \beta = -2m < 0$ أي $m > 0$. (3) $\alpha\beta = m + 2 > 0$ أي $m > -2$. المنطقة المشتركة بين الشروط الثلاثة: $m > 2$.