أسئلة: المثلثات والمستقيمات

الإجابة الصحيحة: 3

الميل $m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3$.

الإجابة الصحيحة: $y = 2x - 3$

المستقيمان متوازيان إذا تساوى ميلاهما، وميل المستقيم المعطى هو 2.

الإجابة الصحيحة: 6

المساحة = $0.5 \times |0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)| = 0.5 \times |12| = 6$.

الإجابة الصحيحة: متعامدان

شرط تعامد المستقيمين هو أن يكون حاصل ضرب ميليهما يساوي $-1$.

الإجابة الصحيحة: 1

البعد = $|3(1) + 4(2) - 6| / \sqrt{3^2 + 4^2} = |3 + 8 - 6| / 5 = 5 / 5 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $4x - y - 5 = 0$

المعادلة: $y - 3 = 4(x - 2) \implies y - 3 = 4x - 8 \implies 4x - y - 5 = 0$.

الإجابة الصحيحة: نعم، لأن $2 \times (-0.5) = -1$

حاصل ضرب الميلين $2 \times -0.5 = -1$، وهو شرط التعامد.

الإجابة الصحيحة: 6

القاعدة = 4، الارتفاع = 3، المساحة = $0.5 \times 4 \times 3 = 6$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

نعوض بإحداثيي النقطة في الطرف الأيسر من معادلة المستقيم، ونأخذ القيمة المطلقة، ونقسم على $\sqrt{a^2 + b^2}$.

الإجابة الصحيحة: -3

ميل المستقيم العمودي هو سالب مقلوب الميل الأصلي: $-1 / (1/3) = -3$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{3}$

ميل $ax + by + c = 0$ هو $-\frac{a}{b} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$، أو نحولها إلى $y = \frac{2}{3}x + 2$.

الإجابة الصحيحة: $(1, 2)$

بالتعويض: $2 = 3(1) - 1$ وهي صحيحة.

الإجابة الصحيحة: قائم الزاوية ومتساوي الساقين

$AB^2 = 10$ و $BC^2 = 1 + 9 = 10$ و $AC^2 = 4 + 16 = 20$. بما أن $AB = BC$ و $AB^2 + BC^2 = AC^2$ فالمثلث قائم الزاوية في $B$ ومتساوي الساقين.

الإجابة الصحيحة: $(1, 1)$

نرتبه: $(x - y) + k(x + y - 2) = 0$. لكي تتحقق لكل $k$: $x - y = 0$ و $x + y - 2 = 0$، فتكون النقطة $(1, 1)$.

الإجابة الصحيحة: $x + y - 5 = 0$

المنتصف $(1, 4)$ وميل $AB$ يساوي $\frac{4}{4} = 1$، فالعمود ميله $-1$: $y - 4 = -(x - 1)$، أي $x + y - 5 = 0$.

الميل $m = (10-4)/(4-2) = 6/2 = 3$. معادلة الميل والنقطة: $y - 4 = 3(x - 2)$. الصورة العامة: $y - 4 = 3x - 6 \implies 3x - y - 2 = 0$.

المساحة = $0.5 \times |1(1-4) + 3(4-2) + 5(2-1)| = 0.5 \times |-3 + 6 + 5| = 0.5 \times |8| = 4$.

البعد = $|5(0) + 12(0) - 26| / \sqrt{5^2 + 12^2} = |-26| / \sqrt{25 + 144} = 26 / \sqrt{169} = 26 / 13 = 2$.

ميل المستقيم الأول $m_1 = 4$. ميل المستقيم الثاني $m_2 = -0.25$. بما أن $m_1 \times m_2 = 4 \times (-0.25) = -1$، فالمستقيمان متعامدان.

شرط التوازي هو تساوي الميلين، إذن $a = 2$.

$y - (-1) = -2(x - 1) \implies y + 1 = -2x + 2 \implies 2x + y - 1 = 0$.

الحالة الأولى (التوازي): $y = ax$ يوازي $y = x + 1$ عندما $a = 1$، ويوازي $y = -x + 3$ عندما $a = -1$ (والأول والثاني غير متوازيين). الحالة الثانية (التلاقي في نقطة): تقاطع الأولين من $x + 1 = -x + 3$ هو $(1, 2)$، ويمر به $y = ax$ عندما $2 = a$. إذن $a = 1$ أو $a = -1$ أو $a = 2$.