أسئلة: متجهات السرعة والسرعة النسبية

الإجابة الصحيحة: السرعة المتجهة لها مقدار واتجاه محدد في الفراغ

السرعة المتجهة هي كمية فيزيائية تحدد بمقدار واتجاه، بينما السرعة القياسية تعبر عن معدل قطع المسافة دون اعتبار للاتجاه.

الإجابة الصحيحة: $v\cos\theta$

من قواعد تحليل المتجهات، المركبة الأفقية هي حاصل ضرب مقدار المتجه في جيب تمام الزاوية.

الإجابة الصحيحة: 5 م/ث

المقدار يُحسب من العلاقة $\sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $\vec{v}_B - \vec{v}_A$

السرعة النسبية = سرعة المرصود ناقص سرعة المراقب، والمرصود هنا B والمراقب A، فتكون $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$. الخيار $\vec{v}_A - \vec{v}_B$ يعطي سرعة A كما يراها B (المقدار نفسه والاتجاه معاكس).

الإجابة الصحيحة: 4 م/ث

بما أنهما في نفس الاتجاه، السرعة النسبية هي الفرق بين المقدارين: $10 - 6 = 4$.

الإجابة الصحيحة: المركبات الأفقية معاً والمركبات الرأسية معاً

طريقة المركبات تعتمد على جمع المركبات المتناظرة ($x$ مع $x$ و $y$ مع $y$) بشكل مستقل.

الإجابة الصحيحة: 45°

عندما تتساوى المركبات، تكون $\tan\theta = 1$، وهو ما يقابل زاوية 45 درجة.

الإجابة الصحيحة: 5 م/ث

السرعة هي محصلة المتجهين المتعامدين: $\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.

الإجابة الصحيحة: تساوي مجموع السرعتين

في حالة الحركة في نفس الاتجاه، تكون السرعة المحصلة هي مجموع سرعة القارب بالنسبة للماء وسرعة الماء بالنسبة للأرض.

الإجابة الصحيحة: 10 م/ث

المقدار $= \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

الإجابة الصحيحة: لا يتغير

زمن العبور يحدده المكوّن العمودي على الضفة فقط ($t = d / v_1$)، والتيار موازٍ للضفة فلا يغيّر هذا المكوّن؛ إنما يزيد الانجراف مع التيار.

الإجابة الصحيحة: 40 م/ث

السرعة النسبية هي الفرق المتجهي: $20 - (-20) = 40$.

الإجابة الصحيحة: 10 م/ث

السرعتان متعامدتان فتُجمعان كضلعي مثلث قائم: $\sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$ م/ث. الرقم 14 ينتج عن جمع المقدارين جمعًا عاديًّا، وهذا لا يصح إلا إذا كانت السرعتان على خط واحد.

الإجابة الصحيحة: 60 م

زمن العبور $t = 80/4 = 20$ ث (تحدده سرعة القارب العمودية فقط)، والانجراف $= 3 \times 20 = 60$ م.

الإجابة الصحيحة: 5 م/ث

سرعة المطر بالنسبة للحافلة = سرعة المطر − سرعة الحافلة؛ مركبتاها 4 م/ث لأسفل و3 م/ث إلى الخلف، فمقدارها $\sqrt{4^2+3^2} = 5$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: إلى الخلف ولأسفل، أي عكس اتجاه حركة الحافلة

سرعة المطر بالنسبة للحافلة = سرعة المطر (لأسفل) + سهم معاكس لسرعة الحافلة (للخلف)، فتكون المحصلة مائلة إلى الخلف ولأسفل، ويبدو المطر كأنه قادم من أمام الحافلة.

الإجابة الصحيحة: 40 م

المركبة الرأسية $v_y = 20\sin 30^\circ = 10$ م/ث، والارتفاع $= 10 \times 4 = 40$ م. الرقم 69 م تقريبًا هو المسافة الأفقية ($20\cos 30^\circ \times 4$)، والرقم 80 م هو طول المسار كله.

المركبة الأفقية: $v_x = v \cos 30° = 50 \times 0.866 = 43.3$ م/ث. المركبة الرأسية: $v_y = v \sin 30° = 50 \times 0.5 = 25$ م/ث.

سرعة A بالنسبة لـ B = سرعة المرصود (A) ناقص سرعة المراقب (B): $\vec{v}_A - \vec{v}_B = (10-2,\ 5-(-1)) = (8, 6)$ م/ث. ومقدارها $\sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10$ م/ث.

المتجه هو $(2, 5)$. المقدار: $\sqrt{2^2+5^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29} \approx 5.39$ م/ث. الاتجاه: $\theta = \arctan(5/2) \approx 68.2°$ مع اتجاه التيار.

المقدار: $\sqrt{12^2+16^2} = \sqrt{144+256} = \sqrt{400} = 20$ م/ث. الزاوية: $\theta = \arctan(16/12) = \arctan(1.33) \approx 53.1°$.

طريقة المركبات تحول المسألة إلى عمليات حسابية جبرية بسيطة (جمع وطرح أرقام) وتسمح بجمع أكثر من متجهين في آن واحد بدقة عالية، بينما الطريقة الهندسية تعتمد على الرسم والقياس وتصبح معقدة جداً عند زيادة عدد المتجهات.

نأخذ الشرق موجبًا على المحور $x$ والشمال موجبًا على المحور $y$: $\vec{v}_A = (-30, 0)$ و $\vec{v}_B = (0, 40)$. سرعة A بالنسبة لـ B = $\vec{v}_A - \vec{v}_B = (-30, -40)$ م/ث، ومقدارها $\sqrt{30^2+40^2} = \sqrt{2500} = 50$ م/ث، في اتجاه يميل بين الغرب والجنوب.

(أ) $t = 100/5 = 20$ ث. (ب) الانجراف $= 1.5 \times 20 = 30$ م. (ج) $v = \sqrt{5^2 + 1.5^2} = \sqrt{27.25} \approx 5.2$ م/ث. لو تضاعفت سرعة التيار إلى 3 م/ث يبقى زمن العبور 20 ث لأنه يتحدد بالمركبة العمودية على الضفة وحدها، بينما يتضاعف الانجراف إلى 60 م لأنه يساوي سرعة التيار × زمن العبور.