ملخص تحليل البيانات (2): الرباعيات ومخطط الصندوق والشارب — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة العاشرة: تحليل البيانات — الموضوع 10-3

عرفت أن الوسيط يقسم البيانات المرتبة إلى نصفين. فماذا لو قسمنا كل نصف مرة أخرى؟ سنحصل على أربعة أرباع، ونعرف أين يقع ربع الطلاب الأضعف والربع الأفضل. ومن هذه الأرقام نرسم مخططًا بسيطًا يلخص البيانات كلها: مخطط الصندوق والشارب.

أهداف التعلم

أن تعرّف الرباعيات الثلاثة.
أن تحدد الرباعيات لمجموعة بيانات بخطوات منظمة.
أن ترسم مخطط الصندوق والشارب.
أن تقرأ مخطط الصندوق والشارب وتستخرج منه معلومات.

شرح الدرس

الرباعيات

الرباعيات (Quartiles) ثلاث قيم تقسم البيانات المرتبة تصاعديًّا إلى أربعة أجزاء متساوية:

الرباعي الأول $Q_1$ : يقع قبله ربع البيانات.
الرباعي الثاني $Q_2$ : هو الوسيط، ويقع قبله نصف البيانات.
الرباعي الثالث $Q_3$ : يقع قبله ثلاثة أرباع البيانات.

خطوات تحديد الرباعيات

رتب البيانات تصاعديًّا وأوجد الوسيط ( $Q_2$ ).
قسّم البيانات عند الوسيط إلى نصف أدنى ونصف أعلى (إذا كان عدد القيم فرديًّا لا ندخل الوسيط نفسه في أي من النصفين).
أوجد وسيط النصف الأدنى فيكون $Q_1$ ، ووسيط النصف الأعلى فيكون $Q_3$ .

مخطط الصندوق والشارب

مخطط الصندوق والشارب (Box-and-whisker plot) شكل يمثل خمس قيم معًا: القيمة الصغرى، و $Q_1$ ، و $Q_2$ ، و $Q_3$ ، والقيمة العظمى. خطوات رسمه:

حدد القيم الخمس وارسم خطًّا رأسيًّا قصيرًا عند كل منها فوق محور الأعداد.
ارسم صندوقًا يمتد من $Q_1$ إلى $Q_3$ ، وخطًّا داخله عند الوسيط.
ارسم شاربين (خطين أفقيين) من طرفي الصندوق إلى القيمتين الصغرى والعظمى.

أمثلة وتطبيقات

مثال: درجات 10 طلاب في اختبار: 15، 42، 28، 35، 50، 22، 40، 31، 18، 45.

الترتيب: 15، 18، 22، 28، 31، 35، 40، 42، 45، 50.
الوسيط $Q_2$ : عدد القيم زوجي، فالوسيط $= \frac{31 + 35}{2} = 33$ .
النصف الأدنى: 15، 18، 22، 28، 31، فيكون $Q_1 = 22$ .
النصف الأعلى: 35، 40، 42، 45، 50، فيكون $Q_3 = 42$ .
القيمتان الصغرى والعظمى: 15 و 50.

مخطط صندوق وشارب على محور من 10 إلى 55: شارب من 15 إلى 22، وصندوق من 22 إلى 42 بداخله خط الوسيط عند 33، وشارب من 42 إلى 50

قراءة المخطط:

نحو ربع الطلاب درجاتهم أقل من 22، ونحو ربعهم أعلى من 42.
نصف الطلاب تقريبًا درجاتهم بين 22 و 42 (داخل الصندوق).
كلما طال الصندوق أو الشاربان دل ذلك على تشتت أكبر في البيانات.

مقارنة مجموعات: إذا رسمنا مخططين لفصلين على المحور نفسه، فالفصل الذي يقع صندوقه أعلى على المحور أداؤه أفضل عمومًا، والفصل ذو الصندوق الأقصر درجاته متقاربة أكثر.

ملاحظات مهمة

الرباعي الثاني هو الوسيط نفسه، فلا تحسبه مرتين بطريقتين مختلفتين.
في البيانات ذات العدد الفردي (مثل 31 قيمة): الوسيط هو القيمة رقم 16، و $Q_1$ هو القيمة رقم 8، و $Q_3$ هو القيمة رقم 24.
يوجد في برامج الإحصاء طرق أخرى قريبة لحساب الرباعيات قد تعطي نتائج مختلفة قليلًا؛ اتبع الطريقة المشروحة هنا في الامتحان.

المفاهيم الأساسية

الرباعيات تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية، و $Q_2$ هو الوسيط.
$Q_1$ وسيط النصف الأدنى، و $Q_3$ وسيط النصف الأعلى.
مخطط الصندوق والشارب يمثل: الصغرى، $Q_1$ ، $Q_2$ ، $Q_3$ ، العظمى.
الصندوق يضم نصف البيانات الأوسط، وطوله يعبر عن التشتت.

ملخص الدرس

نحدد الرباعيات بترتيب البيانات وإيجاد الوسيط، ثم وسيط كل نصف. ونلخص البيانات بمخطط الصندوق والشارب الذي يعرض خمس قيم في شكل واحد، فيمكّننا من معرفة موقع أرباع البيانات ومدى تشتتها، ومقارنة أكثر من مجموعة بيانات بسهولة.

أسئلة للتدريب

عرّف الرباعيات الثلاثة.
أوجد $Q_1$ و $Q_2$ و $Q_3$ للدرجات: 68، 90، 75، 64، 72، 32، 46، 86، 59، 82.
ارسم مخطط الصندوق والشارب للبيانات في السؤال السابق.
إذا كانت البيانات 31 قيمة، فما ترتيب القيم التي تمثل $Q_1$ و $Q_2$ و $Q_3$ ؟
ماذا يدل عليه طول الصندوق في المخطط؟