أسئلة: التناسب

الإجابة الصحيحة: $4, 6$

في التناسب $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$، يكون الطرفان هما $a, d$ والوسطان هما $b, c$. إذن الوسطان هما $4, 6$.

الإجابة الصحيحة: $3$

باستخدام خاصية الضرب التبادلي: $20x = 5 \times 12 = 60 \implies x = \dfrac{60}{20} = 3$.

الإجابة الصحيحة: خاصية التأليف (الجمع)

خاصية التأليف تعني إضافة المقام إلى البسْط في كلا طرفي التناسب لنتحصّل على $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$.

الإجابة الصحيحة: $-\dfrac{1}{4}$

باستخدام خاصية التفريق: $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{3-4}{4} = -\dfrac{1}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $6$

الوسط النسبي $b = \sqrt{a \times c} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.

الإجابة الصحيحة: $18$

بما أن الكميات في تناسب مستمر، إذن $\dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{x}$، ومنها $2x = 36 \implies x = 18$.

الإجابة الصحيحة: $20$

إذا كان الرابع هو $x$، فإن $\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{x} \implies 3x = 5 \times 12 = 60 \implies x = 20$.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

خاصية التبديل تتيح تبديل موضعي الحدين الوسطين أو الطرفين، فتصبح الصورة $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{7}{3}$

باستخدام خاصية التأليف والتفريق معا: $\dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{5+2}{5-2} = \dfrac{7}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $12.5$

بما أن $x$ وسيط وموجب، فمن $x^2=25$ نجد أن $x=5$. التناسب المستمر هو $\dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{y}$، إذن $2y = 25 \implies y = 12.5$.

الإجابة الصحيحة: $15$

باستخدام الضرب التبادلي: $27x = 9 \times 45 = 405 \implies x = \dfrac{405}{27} = 15$.

الإجابة الصحيحة: $9$

الوسط النسبي $b = \sqrt{3 \times 27} = \sqrt{81} = 9$.

باستخدام خاصية الضرب التبادلي: $2(2x - 1) = 5 \times 3$ $4x - 2 = 15$ $4x = 15 + 2 = 17$ $x = \dfrac{17}{4} = 4.25$

باستخدام خاصية التأليف (الجمع): $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{4+5}{5} = \dfrac{9}{5}$ بما أن $a+b = 36$: $\dfrac{36}{b} = \dfrac{9}{5}$ $9b = 36 \times 5 = 180 \implies b = \dfrac{180}{9} = 20$ وبالتعويض لإيجاد $a$: $a = 36 - 20 = 16$ إذن القيمتان هما: $a = 16$ و $b = 20$.

ليكن العدد المُضاف هو $x$. تصبح الأعداد: $3+x, 5+x, 11+x$. لكي تكون في تناسب (باعتبار العدد الرابع هو المتمم أو بناءً على تناسب الثلاثة كمقادير متناسبة أو بافتراض تسلسل مناسب): بما أن الأعداد ثلاثة، فإنها تكون في تناسب مستمر: $\dfrac{3+x}{5+x} = \dfrac{5+x}{11+x}$ باستخدام الضرب التبادلي: $(3+x)(11+x) = (5+x)^2$ $33 + 3x + 11x + x^2 = 25 + 10x + x^2$ بحذف $x^2$ من الطرفين: $33 + 14x = 25 + 10x$ $14x - 10x = 25 - 33$ $4x = -8 \implies x = -2$ إذن العدد هو $-2$.

بما أن $x, 12, 27$ في تناسب مستمر، إذن: $\dfrac{x}{12} = \dfrac{12}{27}$ باستخدام الضرب التبادلي: $27x = 12 \times 12 = 144$ $x = \dfrac{144}{27}$ بتبسيط الكسر بالقسمة على $9$: $x = \dfrac{16}{3}$

نفرض أن $x = 3k$ و $y = 4k$ حيث $k \neq 0$. نعوض عن قيمتي $x$ و $y$ في المقدار المطلوب: $\text{المقدار} = \dfrac{3(3k) + 2(4k)}{2(3k) + (4k)}$ $= \dfrac{9k + 8k}{6k + 4k} = \dfrac{17k}{10k}$ بختزل الحرف $k$ (لأن $k \neq 0$): $= \dfrac{17}{10}$ وهو المطلوب.

نفرض أن العددين هما $2x$ و $3x$. بعد طرح $5$ من كل منهما يصبحان: $2x - 5$ و $3x - 5$. النسبة الجديدة هي $1 : 2$، إذن: $\dfrac{2x - 5}{3x - 5} = \dfrac{1}{2}$ باستخدام الضرب التبادلي: $2(2x - 5) = 1(3x - 5)$ $4x - 10 = 3x - 5$ $4x - 3x = 10 - 5$ $x = 5$ نعوض لإيجاد العددين: العدد الأول = $2 \times 5 = 10$ العدد الثاني = $3 \times 5 = 15$ إذن العددين هما $10$ و $15$.