أسئلة: التوقع (المتوسط) والتباين للمتغير العشوائي المتقطع

الإجابة الصحيحة: $\sum x_i P(X=x_i)$

التوقع الرياضي هو مجموع حاصل ضرب كل قيمة للمتغير في احتمال وقوعها.

الإجابة الصحيحة: 1

$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$.

الإجابة الصحيحة: مدى تشتت القيم حول المتوسط

التباين يقيس مدى تركيز أو تشتت قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي.

الإجابة الصحيحة: كل القيم تساوي التوقع الرياضي

عندما يكون التباين صفراً، فهذا يعني عدم وجود تشتت، أي أن المتغير يأخذ قيمة ثابتة تساوي متوسطه.

الإجابة الصحيحة: 1.6

$E(X) = (1 \times 0.4) + (2 \times 0.6) = 0.4 + 1.2 = 1.6$.

الإجابة الصحيحة: تصبح القيم أكثر تركيزًا حول المتوسط

صغر التباين يشير إلى أن القيم تميل للتجمع بالقرب من المتوسط.

الإجابة الصحيحة: ضرب مربع كل قيمة في احتمالها ثم الجمع

$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.

الإجابة الصحيحة: 11

$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \Rightarrow 2 = E(X^2) - 3^2 \Rightarrow 2 = E(X^2) - 9 \Rightarrow E(X^2) = 11$.

الإجابة الصحيحة: $\mu$

يُرمز للتوقع الرياضي بـ $E(X)$ أو $\mu$.

الإجابة الصحيحة: متوسط عدد الصور على المدى الطويل

التوقع الرياضي يمثل القيمة المتوسطة عند تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات.

الإجابة الصحيحة: 0.25

$E(X) = 0.5$, $E(X^2) = 0.5$, $Var(X) = 0.5 - (0.5)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.

الإجابة الصحيحة: مركز ثقل التوزيع الاحتمالي

التوقع الرياضي هو القيمة التي يتمركز حولها التوزيع.

الإجابة الصحيحة: $2.1$

$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1$.

الإجابة الصحيحة: $0.49$

$\sum x^2 d(x) = 0.2 + 2 + 2.7 = 4.9$ ثم $\sigma^2 = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.

الإجابة الصحيحة: $3.5$

$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$ وهو ليس من قيم المتغير لكنه متوسطه.

الإجابة الصحيحة: $0.2$ جنيه

$20(0.1) + (-2)(0.9) = 2 - 1.8 = 0.2$ جنيه، أي أن اللاعب يربح في المتوسط $0.2$ جنيه.

الإجابة الصحيحة: $1.5$

$\mu = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot\frac{3}{8} + 2\cdot\frac{3}{8} + 3\cdot\frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.

الإجابة الصحيحة: $0.75$

$\sigma^2 = 3 - 1.5^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

الإجابة الصحيحة: $50\%$

معامل الاختلاف $= \frac{\sigma}{\mu} \times 100\% = \frac{2}{4} \times 100\% = 50\%$.

الإجابة الصحيحة: الأولى

المعامل الأصغر يدل على تشتت نسبي أقل أي تجانس أكبر.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ التباين مجموع مربعات موزونة بالاحتمالات فهو دائمًا $\ge 0$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ التوقع متوسط على المدى الطويل، مثل التوقع $3.5$ لرمي النرد.

أولاً التوقع: $E(X) = (0 \times 0.2) + (2 \times 0.8) = 0 + 1.6 = 1.6$. ثانياً توقع المربع: $E(X^2) = (0^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.8) = 0 + 3.2 = 3.2$. ثالثاً التباين: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3.2 - (1.6)^2 = 3.2 - 2.56 = 0.64$.

لأن التباين يقيس التشتت حول المتوسط وليس حول الصفر. الصيغة $E(X^2)$ وحدها تحسب متوسط مربعات القيم من نقطة الأصل (الصفر)، وطرح $[E(X)]^2$ يُعدل الحساب ليعكس التشتت الفعلي حول المتوسط، حيث أن $Var(X) = E[(X - E(X))^2]$.

بما أن $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$، إذن $3 = E(X^2) - (4)^2$، أي $3 = E(X^2) - 16$. بجمع 16 للطرفين، نجد أن $E(X^2) = 19$.

التوقع الرياضي يمثل 'مركز ثقل' التوزيع، أي القيمة المتوسطة التي يتوقعها المرء على المدى الطويل من التكرار. أما التباين فيمثل مقياساً لمدى تشتت القيم حول هذا المركز؛ فكلما زاد التباين زاد التشتت، وكلما قل اقتربت القيم من المتوسط.

$E(X) = (1 \times 0.3) + (2 \times 0.4) + (3 \times 0.3) = 0.3 + 0.8 + 0.9 = 2.0$.

نستنتج أن قيم $X$ تميل لأن تكون متقاربة نسبياً من التوقع $\mu$، لأن التباين المنخفض يشير إلى أن الانحرافات عن المتوسط ليست كبيرة في المتوسط، مما يعني تجمع القيم حول قيمة المتوسط.

$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 2.1$. $\sum x^2 d(x) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 4.9$. $\sigma^2 = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$. $\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7$.

$0.3 + a + 0.2 = 1$ فـ$a = 0.5$. $\mu = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0.9$. $\sum x^2 d(x) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$. $\sigma^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$.

مجموع الاحتمالات: $a + 0.5 + b = 1$ فـ$a + b = 0.5$. التوقع: $a + 2(0.5) + 3b = 2.1$ فـ$a + 3b = 1.1$. بطرح المعادلتين: $2b = 0.6$ فـ$b = 0.3$ ثم $a = 0.2$.

توقع المبلغ المكسوب $= 100(0.01) + 10(0.1) + 0(0.89) = 1 + 1 = 2$ جنيه. الصافي $= 2 - 3 = -1$ جنيه. أي أن اللاعب يخسر في المتوسط جنيهًا واحدًا لكل ورقة على المدى الطويل.

معامل الاختلاف للمصنع (أ) $= \frac{250}{1850} \times 100\% \approx 13.5\%$ وللمصنع (ب) $= \frac{230}{1580} \times 100\% \approx 14.6\%$. المصنع (أ) أكثر تجانسًا لأن معامل اختلافه أصغر، رغم أن انحرافه المعياري أكبر، فالمقارنة الصحيحة تكون بالتشتت النسبي.