أسئلة: التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

الإجابة الصحيحة: 4

المتوسط في توزيع ذي الحدين يُحسب بالعلاقة $E(X) = np = 10 \times 0.4 = 4$.

الإجابة الصحيحة: 4

المتوسط في التوزيع الهندسي هو $E(X) = 1/p = 1/0.25 = 4$.

الإجابة الصحيحة: 5

التباين هو $Var(X) = np(1-p) = 20 \times 0.5 \times 0.5 = 5$.

الإجابة الصحيحة: 0.25

$P(X=2) = (1-p)^{2-1} \times p = (0.5)^1 \times 0.5 = 0.25$.

الإجابة الصحيحة: 0.2

احتمال الفشل هو $1-p = 1-0.8 = 0.2$.

الإجابة الصحيحة: ذي الحدين عدد محاولاته ثابت، الهندسي غير ثابت

توزيع ذي الحدين يتطلب $n$ محاولة محددة، بينما الهندسي ينتهي عند أول نجاح.

الإجابة الصحيحة: 0.0625

$P(X=0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625$.

الإجابة الصحيحة: 0.33

$E(X) = 1/p \implies 3 = 1/p \implies p = 1/3 \approx 0.33$.

الإجابة الصحيحة: 2

$Var(X) = (1-p)/p^2 = (0.5)/(0.5^2) = 0.5/0.25 = 2$.

الإجابة الصحيحة: $n! / (k! (n-k)!)$

معامل ذي الحدين $\binom{n}{k}$ يُحسب بالقانون $n! / (k!(n-k)!)$.

الإجابة الصحيحة: لها ناتجان فقط: نجاح أو فشل

تعريف تجربة بيرنولي: ناتجان فقط يُسمى أحدهما نجاحًا والآخر فشلًا.

الإجابة الصحيحة: رقم المحاولة التي يظهر فيها أول نجاح

المتغير الهندسي هو رقم المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح، أما عدد النجاحات في $n$ ثابتة فتوزيعه ذو الحدين.

الإجابة الصحيحة: $0.140625$

$P(X=3) = (0.75)^2 \times 0.25 = 0.5625 \times 0.25 = 0.140625$.

الإجابة الصحيحة: $0.5625$

$P(X > 2) = (1 - p)^2 = (0.75)^2 = 0.5625$ أي فشلان متتاليان.

الإجابة الصحيحة: $6$

$\mu = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/6} = 6$ رميات.

الإجابة الصحيحة: $\frac{15}{64}$

$\binom{6}{2}(0.5)^2(0.5)^4 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.

الإجابة الصحيحة: $1.2$

$\sigma^2 = np(1 - p) = 5 \times 0.6 \times 0.4 = 1.2$.

الإجابة الصحيحة: $0.441$

$\binom{3}{2}(0.7)^2(0.3) = 3 \times 0.49 \times 0.3 = 0.441$.

الإجابة الصحيحة: عدد الإجابات الصحيحة في اختبار من $10$ أسئلة أُجيب عنها بالتخمين

عدد المحاولات ثابت ($10$) ونحصي مرات النجاح فهذا توزيع ذو الحدين.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ تتوقف المحاولات عند أول نجاح فعددها غير محدد، أما في ذي الحدين فهو محدد.

الإجابة الصحيحة: صواب

أقل ما يمكن أن يحدث أول نجاح هو في المحاولة الأولى.

هنا $n=3$، $p=0.5$، نريد $P(X=2)$. القانون: $P(X=2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \times 0.25 \times 0.5 = 0.375$.

هذا توزيع هندسي بـ $p=1/6$. احتمال ظهور أول نجاح في المحاولة الثانية هو $P(X=2) = (1-p)^{2-1} \times p = (5/6)^1 \times (1/6) = 5/36 \approx 0.1389$.

المتوسط $E(X) = np = 10 \times 0.2 = 2$. التباين $Var(X) = np(1-p) = 10 \times 0.2 \times 0.8 = 1.6$.

في توزيع ذي الحدين، $X$ يمثل عدد مرات النجاح في عدد محاولات $n$ ثابت. في التوزيع الهندسي، $X$ يمثل رقم المحاولة التي يظهر عندها أول نجاح، وعدد المحاولات غير ثابت.

المتوسط في التوزيع الهندسي هو $E(X) = 1/p$. إذن $E(X) = 1/0.4 = 2.5$.

$P(X = 2) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$. $P(X = 1) = 0.4$ و$P(X = 3) = 0.6^2 \times 0.4 = 0.144$. $P(X \le 3) = 0.4 + 0.24 + 0.144 = 0.784$. $P(X > 3) = 0.6^3 = 0.216$. والتحقق: $0.784 + 0.216 = 1$.

$X \sim B(10, 0.25)$. $P(X = 0) = 0.75^{10} \approx 0.0563$. احتمال إجابة واحدة على الأقل $= 1 - 0.0563 = 0.9437$. المتوسط $= np = 10 \times 0.25 = 2.5$ إجابة.

$X \sim B(5, 0.6)$. $P(X = 4) = 5 \times 0.6^4 \times 0.4 = 0.2592$. $P(X = 5) = 0.6^5 = 0.07776$. $P(X \ge 4) = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696$.

$np = 8$ و$np(1-p) = 4.8$. بقسمة المعادلتين: $1 - p = \frac{4.8}{8} = 0.6$ فـ$p = 0.4$. ثم $n = \frac{8}{0.4} = 20$.

الهندسي: رمي نرد حتى يظهر $6$ لأول مرة؛ $X$ رقم المحاولة التي يظهر فيها أول نجاح وعدد المحاولات غير محدد. ذو الحدين: رمي عملة $5$ مرات؛ $X$ عدد مرات ظهور الصورة وعدد المحاولات ثابت ($n = 5$).