أهداف التعلم

• أن تفرّق بين الرقم (Digit) والعدد (Number)، وتحلل عددًا في النظام العشري.
• أن تشرح سبب اعتماد الحاسوب على النظام الثنائي، وتعرّف bit وbyte.
• أن تحوّل بين الثنائي والعشري، وبين السداسي عشر والعشري، وبين الثنائي والسداسي عشر.
• أن تستعمل جدول المقابلة بين الأرقام السداسية عشرية وأربع خانات ثنائية.

شرح الدرس

1) الرقم والعدد، والنظام العشري

الرقم (Digit) رمز واحد يحتل خانة واحدة مثل 7، أما العدد (Number) فمقدار يتكون من رقم أو أكثر مثل 26 و264 و1679. والنظام العشري هو الأقدم والأكثر استعمالًا، أساسه 10 ورموزه من 0 إلى 9، ولكل خانة رتبة تحدد قيمتها. تُكتب الرتب من اليمين إلى اليسار: $10^0, 10^1, 10^2, \dots$ (وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1).

مثال: العدد $(256)_{10} = 2 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 10^0 = 200 + 50 + 6$. ونكتب أساس النظام أسفل العدد بين قوسين للدلالة على نظامه.

أي نظام عددي له: اسم، وأساس (عدد رموزه)، ومكونات (رموزه من الصفر إلى رمز قبل الأساس).

2) النظام الثنائي وسبب استعمال الحاسوب له

أساسه 2 ورمزاه 0 و1. تمثّل الدائرة الإلكترونية بحالتها (متصلة/مفصولة) الرقمين: On = 1 وOff = 0، ويُمثَّل ذلك غالبًا بجهدين كهربيين (حوالي 0 فولت و5 فولت). وتسمى هذه اللغة لغة الآلة (Machine Language).

• bit (Binary Digit): أصغر وحدة بيانات، خانة ثنائية تأخذ القيمة 0 أو 1. العدد $1100$ مكوّن من 4 bits.
• byte: أصغر وحدة تخزين في الذاكرة، تخزّن رمزًا واحدًا (حرفًا أو رقمًا أو علامة) وتتكوّن من 8 bits.
• عدد الاحتمالات: من $n$ خانة ثنائية نحصل على $N = 2^n$ تشكيلة. مثال: 3 خانات تعطي $2^3 = 8$ احتمالات، وbyte واحد (8 خانات) يعطي $2^8 = 256$ احتمالًا.

3) من الثنائي إلى العشري

رتب الخانات من اليمين: $2^0, 2^1, 2^2, \dots$ أي $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ نضرب كل رقم في وزن خانته ونجمع:

$(1101)_2 = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = (13)_{10}$

4) من العشري إلى الثنائي (القسمة المتكررة على 2)

نقسم العدد على 2 ثم نقسم خارج القسمة على 2 وهكذا حتى يصير الخارج صفرًا، ونكتب البواقي. أول باقٍ هو أصغر الخانات قيمة (LSB) وآخر باقٍ هو أكبرها قيمة (MSB)، فنقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى.

$(25)_{10} = (11001)_2$

تحقق: $16 + 8 + 1 = 25$.

5) النظام السداسي عشر

أساسه 16 ورموزه 16: الأرقام 0–9 والحروف A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. يُستعمل لأن كل رمز فيه يقابل 4 خانات ثنائية فيختصر الأعداد الثنائية الطويلة، ومن استعمالاته: عناوين الذاكرة، وترميز الألوان، وعناوين المكونات والمنافذ (Ports)، وعناوين بطاقات الشبكة MAC Address.

من السداسي عشر إلى العشري (الأوزان: $16^0 = 1$، $16^1 = 16$، $16^2 = 256$):

$(2F)_{16} = 2 \times 16 + 15 \times 1 = (47)_{10}$

$(A3)_{16} = 10 \times 16 + 3 = (163)_{10}$

من العشري إلى السداسي عشر بالقسمة المتكررة على 16: $300 \div 16 = 18$ والباقي $12$ (C)، $18 \div 16 = 1$ والباقي $2$، $1 \div 16 = 0$ والباقي $1$، فنقرأ من الأسفل: $(300)_{10} = (12C)_{16}$. تحقق: $256 + 32 + 12 = 300$.

6) بين السداسي عشر والثنائي

لأن $16 = 2^4$ يقابل كل رمز سداسي عشري أربع خانات ثنائية. استعن بالجدول:

• سداسي عشر ← ثنائي: حوّل كل رمز على حدة إلى 4 خانات ثم ضعها متجاورة: $(7E)_{16}$: $7 = 0111$ و$E = 1110$ فالناتج $(01111110)_2$. وإذا كانت نتيجة الرقم أقل من 4 خانات أكمل بأصفار على اليسار.
• ثنائي ← سداسي عشر: قسّم الخانات مجموعات من 4 من اليمين وأكمل المجموعة الأخيرة بأصفار على اليسار، ثم اكتب الرمز المقابل لكل مجموعة. مثال: $(110101101)_2$ تُقسَّم إلى $0001 \mid 1010 \mid 1101$ فتساوي $(1AD)_{16}$.

أسئلة للتدريب

• حوّل العدد الثنائي $101101$ إلى النظام العشري.
• حوّل العدد العشري $45$ إلى النظام الثنائي بالقسمة المتكررة على $2$.
• حوّل العدد السداسي عشر $2F$ إلى النظام العشري.
• حوّل العدد العشري $255$ إلى النظام السداسي عشر بالقسمة المتكررة على $16$.
• حوّل $(A2D3)_{16}$ إلى النظام الثنائي، ثم حوّل $(101001101100)_2$ إلى النظام السداسي عشر.
• لماذا يقابل كل رمز سداسي عشري أربع خانات ثنائية بالضبط؟