أسئلة: نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

هذا هو تعريف عدد التوافيق، وهو معامل ذات الحدين $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

الإجابة الصحيحة: $n+1$

عدد حدود مفكوك $(x+y)^n$ يساوي $n+1$؛ لأن $r$ يأخذ القيم من $0$ إلى $n$.

الإجابة الصحيحة: $n$

أُس $x$ يبدأ بـ $n$ ويتناقص واحدًا واحدًا حتى يصل إلى صفر، بينما يتزايد أُس $y$ من صفر إلى $n$، فمجموعهما في كل حدٍّ يساوي $n$.

الإجابة الصحيحة: 8

عدد الحدود يساوي $n+1$، وبما أن $n=7$ فإن عدد الحدود $=8$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{n-r}$

معاملات الحدود المتساوية البُعد عن طرفَي المفكوك متساوية، أي $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$

كل عدد في مثلث باسكال يساوي مجموع العددين اللذين فوقه مباشرة في الصف السابق، وهذا ما تعبّر عنه متطابقة باسكال.

الإجابة الصحيحة: $2^n$

بوضع $x=y=1$ يتحول كل حد إلى معامله فقط، فيصبح مجموع المعاملات $=2^n$.

الإجابة الصحيحة: $2^{n-1}$

بوضع $x=1$، $y=-1$ يكون مجموع المعاملات كله صفرًا، مما يعني تساوي مجموع معاملات الرتب الفردية مع مجموع معاملات الرتب الزوجية، وكلٌّ منهما يساوي $2^{n-1}$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r} x^{n-r} y^r$

الحد العام في مفكوك $(x+y)^n$ هو $T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r$ حيث $r = 0, 1, \dots, n$.

الإجابة الصحيحة: $r=3$

بما أن الحد العام رتبته $(r+1)$، فالحد الرابع يعني $r+1=4$، ومنه $r=3$.

الإجابة الصحيحة: حدّ أوسط واحد رتبته $\frac{n}{2}+1$

عندما يكون $n$ زوجيًا يكون للمفكوك حدّ أوسط واحد فقط رتبته $\frac{n}{2}+1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{n+1}{2}$ و $\frac{n+3}{2}$

عندما يكون $n$ فرديًا يكون للمفكوك حدّان أوسطان رتبتاهما $\frac{n+1}{2}$ و $\frac{n+3}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r} x^r$

$(1+x)^n = 1 + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + x^n$، وحدُّه العام $\binom{n}{r}x^r$.

الإجابة الصحيحة: $(-1)^r$

بالتعويض عن $y$ بـ $(-y)$ في الحد العام تتناوب الإشارات، فيصبح الحد ذو الرتبة $(r+1)$ مضروبًا في $(-1)^r$.

الإجابة الصحيحة: 10

$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{12}=10$

الإجابة الصحيحة: 20

$\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=\frac{720}{36}=20$

الإجابة الصحيحة: $10x^3y^2$

الحد الثالث يقابل $r=2$؛ ومن الحد العام: $T_3=\binom{5}{2}x^{3}y^{2}=10x^3y^2$.

الإجابة الصحيحة: 36

في مفكوك $(2x+3)^3$ معامل $x^2$ هو $36$.

الإجابة الصحيحة: $560x^3$

الحد الخامس معناه $r=4$: $T_5=\binom{7}{4}x^{3}(2)^4=35\times x^3\times16=560x^3$.

الإجابة الصحيحة: عددًا صحيحًا موجبًا

كما ورد في ملاحظات الدرس، الصيغة صالحة فقط حين يكون الأس عددًا صحيحًا موجبًا؛ أما الأس النسبي أو السالب فله دراسة منفصلة.

الإجابة الصحيحة: العاشر

عدد حدود المفكوك $12 + 1 = 13$، فرتبة الحد الرابع من النهاية من البداية تساوي $13 - 4 + 1 = 10$.

الإجابة الصحيحة: 81

نضع $x=1$ فنحصل على $(2+1)^4 = 81$.

الإجابة الصحيحة: 1.0406

$(1+0.01)^4 \approx 1 + 4(0.01) + 6(0.01)^2 = 1 + 0.04 + 0.0006 = 1.0406$.

الإجابة الصحيحة: $2\left(T_1 + T_3 + T_5 + \cdots\right)$

عند جمع المفكوكين تتضاعف الحدود ذات الرتب الفردية (التي إشارتها موجبة في المفكوكين) وتُحذف الحدود ذات الرتب الزوجية.

صيغة نظرية ذات الحدين: $(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{r}x^{n-r}y^r + \cdots + \binom{n}{n}y^n$. وعدد حدود هذا المفكوك يساوي $n+1$.

$\binom{n}{r}$ هو عدد التوافيق، ويُقرأ «توافيق $n$ أشياء مأخوذة $r$ في المرة»، وهو معامل ذات الحدين الذي يظهر في المفكوك وفي مثلث باسكال. ويُحسب بالقانون: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

معاملات مفكوك $(x+y)^4$ هي الصف المقابل لـ $n=4$ في مثلث باسكال: $1, 4, 6, 4, 1$. وبما أن أُس $x$ يبدأ من $4$ ويتناقص إلى $0$ بينما يبدأ أُس $y$ من $0$ ويتزايد إلى $4$، فإن: $(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$.

بالتعويض بـ $x=1$، $y=1$ في المفكوك $(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \cdots + \binom{n}{n}y^n$، يتحول كل حد إلى معامله فقط، ويصبح الطرف الأيسر $(1+1)^n = 2^n$؛ ومن ثم مجموع كل المعاملات $= 2^n$. وبالتطبيق على $n=6$: مجموع معاملات مفكوك $(x+y)^6$ يساوي $2^6 = 64$.

الحد الخامس رتبته $(r+1)=5$، إذن $r=4$. نطبّق الحد العام $T_{r+1}=\binom{n}{r}x^{n-r}y^r$ مع $n=8$، $r=4$: $T_5 = \binom{8}{4}x^{4}y^{4} = 70x^4y^4$.

نكتب $(x-2)^5=(x+(-2))^5$ ونطبّق الحد العام $T_{r+1}=\binom{5}{r}x^{5-r}(-2)^r$ مع $n=5$: عند $r=0$: $\binom{5}{0}x^5(1)=x^5$. عند $r=1$: $\binom{5}{1}x^4(-2)=-10x^4$. عند $r=2$: $\binom{5}{2}x^3(4)=40x^3$. عند $r=3$: $\binom{5}{3}x^2(-8)=-80x^2$. عند $r=4$: $\binom{5}{4}x(16)=80x$. عند $r=5$: $\binom{5}{5}(-32)=-32$. وبجمع الحدود: $(x-2)^5 = x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$.

بوضع $x=1$، $y=-1$ في المفكوك يصبح الطرف الأيسر $(1-1)^n=0$؛ أي أن مجموع المعاملات بإشاراتها المتناوبة (الموجبة لحدود والسالبة لأخرى بالتبادل) يساوي صفرًا. وهذا يعني أن مجموع معاملات الحدود ذات الرتب الفردية يساوي مجموع معاملات الحدود ذات الرتب الزوجية، وأن كلًّا من المجموعين يساوي نصف المجموع الكلي $2^n$، أي $2^{n-1}$. عند $n=5$: كل مجموع يساوي $2^{5-1}=2^4=16$.

الحد السابع رتبته $(r+1)=7$، إذن $r=6$. نطبّق الحد العام $T_{r+1}=\binom{n}{r}x^{n-r}y^r$ مع $n=10$، $r=6$: $T_7=\binom{10}{6}x^{10-6}y^{6}=\binom{10}{6}x^4y^6$. وبخاصية التماثل $\binom{10}{6}=\binom{10}{4}=210$؛ ومن ثم $T_7=210x^4y^6$.

نطبّق $(x+y)^3=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3$ مع $x \to 2x$، $y \to 3$: $(2x+3)^3=\binom{3}{0}(2x)^3+\binom{3}{1}(2x)^2(3)+\binom{3}{2}(2x)(3^2)+\binom{3}{3}(3^3)$. وبالتعويض: $=(1)(8x^3)+(3)(4x^2)(3)+(3)(2x)(9)+(1)(27)=8x^3+36x^2+54x+27$.

بتطبيق القانون على $\binom{n}{n-r}$ نجد: $\binom{n}{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\binom{n}{r}$، وهذا يثبت خاصية التماثل. وباستخدام هذه الخاصية: $\binom{9}{7}=\binom{9}{9-7}=\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9\times8}{2}=36$.

عدد حدود المفكوك $9+1=10$، فالحد الثالث من النهاية رتبته $10 - 3 + 1 = 8$، أي $r = 7$. $T_8 = \binom{9}{7} x^{2}\left(\frac{2}{x}\right)^{7} = 36 \times 128\, x^{2-7} = 4608\,x^{-5} = \frac{4608}{x^{5}}$.

معامل $x^2$ هو $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 45$ ومنه $n^2 - n - 90 = 0$ أي $(n-10)(n+9)=0$ فيكون $n = 10$ لأن $n$ موجب. عدد الحدود 11 فالحد الأوسط رتبته $\frac{10}{2} + 1 = 6$: $T_6 = \binom{10}{5}x^5 = 252\,x^5$.