أسئلة: إيجاد الحد المشتمل على س^ك من مفكوك ذات الحدين

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r}\, a^{n-r}\, b^{r}$

الحد ذو الرتبة $(r+1)$ في مفكوك $(a+b)^n$ هو $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$.

الإجابة الصحيحة: $0$

الحد الثابت هو الحالة الخاصة التي يكون فيها أُسّ $x$ في الحد العام مساويًا للصفر.

الإجابة الصحيحة: $r=1$

بمساواة $12-3r=9$ نحصل على $3r=3$، ومنه $r=1$.

الإجابة الصحيحة: $18$

عند $r=1$: المعامل $=\binom{6}{1}\times 3^1 = 6\times 3 = 18$.

الإجابة الصحيحة: $r=2$

من $18-3r=12$ نحصل على $3r=6$، ومنه $r=2$.

الإجابة الصحيحة: $36$

عند $r=2$: المعامل $=\binom{9}{2}\times(-1)^2 = 36\times 1 = 36$.

الإجابة الصحيحة: $84$

بوضع $18-3r=0$ نجد $r=6$، فالحد الثابت $=\binom{9}{6}\times(-1)^6 = 84\times 1 = 84$.

الإجابة الصحيحة: $-36$

من $18-3r=-3$ نجد $r=7$، فالمعامل $=\binom{9}{7}\times(-1)^7 = 36\times(-1) = -36$.

الإجابة الصحيحة: لا يوجد؛ لأن حل المعادلة $18-3r=10$ يعطي $r=\frac{8}{3}$ وهي غير صحيحة

بما أن $r$ الناتجة كسرية فلا يوجد حد يشتمل على هذه القوة، ومعاملها يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: عندما تكون قيمة $r$ الناتجة من حل المعادلة كسرية، أو سالبة، أو أكبر من $n$

هذه هي الحالات الثلاث التي تجعل الحد المطلوب غير موجود في المفكوك.

الإجابة الصحيحة: أن تكون $r$ عددًا صحيحًا يحقق $0\le r\le n$

من الدرس: يجب أن يكون الناتج $r$ عددًا صحيحًا وأن $0\le r\le n$ حتى يوجد الحد.

الإجابة الصحيحة: $r=3$

بوضع $9-3r=0$ نحصل على $r=3$.

الإجابة الصحيحة: $-672$

عند $r=3$: الحد الثابت $=\binom{9}{3}\times(-2)^3 = 84\times(-8) = -672$.

الإجابة الصحيحة: $144$

من $9-3r=3$ نجد $r=2$، فالمعامل $=\binom{9}{2}\times(-2)^2 = 36\times 4 = 144$.

الإجابة الصحيحة: $-4032$

من $9-3r=-6$ نجد $r=5$، فالمعامل $=\binom{9}{5}\times(-2)^5 = 126\times(-32) = -4032$.

الإجابة الصحيحة: $x^{m}\cdot x^{\ell}=x^{m+\ell}$

هذا هو قانون ضرب الأسس المتفقة في الأساس، وهو الأساس في جمع أُسس $x$ عند تكوين الحد العام.

الإجابة الصحيحة: الحد المشتمل على $x^k$ مقدار كامل يحوي $x^k$، أما معامل $x^k$ فهو العدد المضروب في $x^k$ فقط

من المعلوم أن «معامل $x^k$» يشمل كل الثوابت المضروبة في $x^k$، بينما الحد نفسه يتضمن $x^k$.

الإجابة الصحيحة: $r=2$

من $7-3r=1$ نحصل على $3r=6$، ومنه $r=2$.

الإجابة الصحيحة: $672$

عند $r=2$: المعامل $=\binom{7}{2}\times 2^{7-2} = 21\times 32 = 672$.

الإجابة الصحيحة: لا يوجد؛ لأن حل المعادلة $7-3r=0$ يعطي $r=\frac{7}{3}$ وهي ليست عددًا صحيحًا

بما أن قيمة $r$ الناتجة كسرية فلا يوجد حد ثابت في هذا المفكوك.

الإجابة الصحيحة: 15

قوة $x$ في الحد العام $3n - 5r$، ولكي تساوي صفرًا يلزم $r = \frac{3n}{5}$ صحيحة، أي $n$ من مضاعفات $5$، والعدد $15$ فقط من الخيارات يحقق ذلك.

الإجابة الصحيحة: 60

قوة $x$ في الحد العام $6 - 2r$، ونضعها $2$ فنجد $r = 2$ والمعامل $\binom{6}{2}\cdot 2^2 = 15 \times 4 = 60$.

خطوات الحل: (1) نكتب الحد العام $T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}$. (2) نبسّط الثوابت ونجمع أُسس $x$ باستخدام قوانين الأسس $x^{m}\cdot x^{\ell}=x^{m+\ell}$ و$(x^{m})^{\ell}=x^{m\ell}$ و$\frac{1}{x^{\ell}}=x^{-\ell}$، فنحصل على $x$ مرفوعًا لمقدار بدلالة $r$. (3) نساوي أُسّ $x$ بالقيمة $k$ فتتكوّن معادلة في $r$. (4) نحل المعادلة، ويجب أن يكون الناتج $r$ عددًا صحيحًا يحقق $0\le r\le n$؛ فإن لم يتحقق ذلك فلا يوجد حدٌّ يشتمل على $x^{k}$ ومعامله يساوي صفرًا. (5) عند تحقق الشرط نعوّض بقيمة $r$ في الحد العام لإيجاد الحد المطلوب ومعامله.

الحد العام: $T_{r+1}=\binom{5}{r}\,x^{\,5-r}\left(\frac{1}{x}\right)^{r}=\binom{5}{r}\,x^{5-r}\,x^{-r}=\binom{5}{r}\,x^{5-2r}$. للحد الثابت نساوي أُسّ $x$ بالصفر: $5-2r=0$، ومنه $r=2.5$. بما أن $r$ ليست عددًا صحيحًا، فإن الشرط $0\le r\le n$ وعدد صحيح لا يتحقق، وبالتالي لا يوجد حدٌّ ثابت في هذا المفكوك.

الحد العام مع $n=6$: $T_{r+1}=\binom{6}{r}\,(x^{2})^{6-r}\left(\frac{3}{x}\right)^{r}=\binom{6}{r}\,3^{r}\,x^{12-2r}\,x^{-r}=\binom{6}{r}\,3^{r}\,x^{12-3r}$. نساوي أُسّ $x$ بالقيمة $9$: $12-3r=9$، ومنه $3r=3$، أي $r=1$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 6$). نعوّض: $T_{2}=\binom{6}{1}\,3^{1}\,x^{9}=6\times3\times x^{9}=18\,x^{9}$. إذن الحد المطلوب هو $18x^{9}$.

الحد العام مع $n=9$: $T_{r+1}=\binom{9}{r}\,x^{9-r}\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)^{r}=\binom{9}{r}\,(-2)^{r}\,x^{9-r}\,x^{-2r}=\binom{9}{r}\,(-2)^{r}\,x^{9-3r}$. للحد الثابت نساوي أُسّ $x$ بالصفر: $9-3r=0$، ومنه $r=3$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 9$). نعوّض: $T_{4}=\binom{9}{3}\,(-2)^{3}=84\times(-8)=-672$. إذن الحد الثابت يساوي $-672$.

الحد العام مع $n=9$: $T_{r+1}=\binom{9}{r}\,(x^{2})^{9-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}=\binom{9}{r}\,(-1)^{r}\,x^{18-2r}\,x^{-r}=\binom{9}{r}\,(-1)^{r}\,x^{18-3r}$. نساوي أُسّ $x$ بالقيمة $12$: $18-3r=12$، ومنه $3r=6$، أي $r=2$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 9$). نعوّض: $T_{3}=\binom{9}{2}\,(-1)^{2}\,x^{12}=36\times1\times x^{12}=36x^{12}$. إذن الحد المطلوب هو $36x^{12}$ ومعامله يساوي $36$.

من المثال السابق، أُسّ $x$ في الحد العام هو $18-3r$. نساويه بـ$-3$: $18-3r=-3$، ومنه $3r=21$، أي $r=7$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 9$). المعامل $=\binom{9}{7}\,(-1)^{7}=36\times(-1)=-36$. إذن معامل الحد المشتمل على $x^{-3}$ يساوي $-36$.

أُسّ $x$ في الحد العام لهذا المفكوك هو $9-3r$ (كما في مثال الحد الثابت لنفس المفكوك)، ومعامله $\binom{9}{r}(-2)^{r}$. نساوي الأُسّ بالقيمة $3$: $9-3r=3$، ومنه $3r=6$، أي $r=2$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 9$). نعوّض: $T_{3}=\binom{9}{2}\,(-2)^{2}\,x^{3}=36\times4\times x^{3}=144x^{3}$. إذن الحد المطلوب هو $144x^{3}$.

أُسّ $x$ في الحد العام لهذا المفكوك هو $9-3r$. نساويه بـ$-6$: $9-3r=-6$، ومنه $3r=15$، أي $r=5$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 9$). المعامل $=\binom{9}{5}\,(-2)^{5}=126\times(-32)=-4032$. إذن معامل الحد المشتمل على $x^{-6}$ يساوي $-4032$.

أُسّ $x$ في الحد العام لهذا المفكوك هو $18-3r$. نساويه بـ$10$: $18-3r=10$، ومنه $3r=8$، أي $r=\frac{8}{3}$. بما أن هذه القيمة ليست عددًا صحيحًا، فإن شرط وجود الحد ($r$ عدد صحيح يحقق $0\le r\le n$) لا يتحقق. إذن لا يوجد حدٌّ يشتمل على $x^{10}$ في هذا المفكوك، ومعامله يساوي صفرًا.

الحد العام مع $n=7$: $T_{r+1}=\binom{7}{r}\,(2x)^{7-r}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{r}=\binom{7}{r}\,2^{7-r}\,x^{7-r}\,x^{-2r}=\binom{7}{r}\,2^{7-r}\,x^{7-3r}$. نساوي أُسّ $x$ بالقيمة $1$: $7-3r=1$، ومنه $3r=6$، أي $r=2$ (عدد صحيح ويحقق $0\le r\le 7$). نعوّض: $T_{3}=\binom{7}{2}\,2^{5}\,x=21\times32\times x=672x$. إذن قيمة $r=2$ ومعامل الحد يساوي $672$.

الحد العام $T_{r+1} = \binom{n}{r}(x^2)^{n-r}\left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{n}{r}x^{2n-3r}$. الحد الخالي من $x$ يتطلب $2n - 3r = 0$ أي $r = \frac{2n}{3}$، ولكي تكون $r$ عددًا صحيحًا يلزم أن يقبل $2n$ القسمة على $3$، وبما أن $2$ و$3$ أوليان فيما بينهما فيلزم أن يكون $n$ من مضاعفات $3$. عند $n = 9$ تكون $r = 6$ والحد $T_7 = \binom{9}{6} = 84$.