أسئلة: معادلة المستقيم في الفراغ

الإجابة الصحيحة: بنقطة عليه ومتجه اتجاه موازٍ له

يتحدّد المستقيم في الفراغ بنقطة عليه $A(x_0, y_0, z_0)$ ومتجه اتجاه $\vec{d} = (a, b, c)$ موازٍ له.

الإجابة الصحيحة: $t \in \mathbb{R}$

كل قيمة حقيقية للوسيط $t$ تعطي نقطة واحدة على المستقيم، أي $t \in \mathbb{R}$.

الإجابة الصحيحة: $x = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct$

بمساواة مركبات $(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(a,b,c)$ نحصل على $x = x_0+at$، $y=y_0+bt$، $z=z_0+ct$.

الإجابة الصحيحة: ألّا يكون أيٌّ من $a, b, c$ صفرًا

بحذف الوسيط $t$ للحصول على صيغة الكسور يُشترط ألّا يكون أيٌّ من $a, b, c$ صفرًا.

الإجابة الصحيحة: مركبات متجه الاتجاه

مقامات هذه الكسور هي مركبات متجه الاتجاه $(a, b, c)$.

الإجابة الصحيحة: $x = x_0$ مع مساواة الكسرين الباقيين $\frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$

إذا كان أحد المقامات صفرًا (مثلًا $a = 0$) نكتب $x = x_0$ مع مساواة الكسرين الباقيين.

الإجابة الصحيحة: $x = 1 + 2t,\; y = 2 - t,\; z = 3 + 4t$

بالتعويض في $x = x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$ حيث $(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)$ و$(a,b,c)=(2,-1,4)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{4}$

بحذف الوسيط $t$ من الصورة البارامترية $x=1+2t, y=2-t, z=3+4t$.

الإجابة الصحيحة: $(2, 4, -4)$

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-0, -2-2) = (2, 4, -4)$.

الإجابة الصحيحة: $(1, 2, -2)$

بقسمة مركبات $(2, 4, -4)$ على العامل المشترك 2 نحصل على $(1, 2, -2)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - 2}{-2}$

باستخدام النقطة $A(1, 0, 2)$ ومتجه الاتجاه المختصر $(1, 2, -2)$ في صيغة الكسور.

الإجابة الصحيحة: 8

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8$.

الإجابة الصحيحة: 3

$|\vec{d_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.

الإجابة الصحيحة: 3

$|\vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{8}{9}$

$\cos\theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}|\,|\vec{d_2}|} = \frac{|8|}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$.

الإجابة الصحيحة: عندما يكون متجه اتجاه أحدهما موازيًا لمتجه اتجاه الآخر، أي $\vec{d_1} \parallel \vec{d_2}$

يكون المستقيمان متوازيين إذا كان $\vec{d_1} \parallel \vec{d_2}$.

الإجابة الصحيحة: عندما يكون $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$

يكون المستقيمان متعامدين إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهي اتجاهيهما يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: نعم؛ لأن النسب الثلاث بالتعويض تتساوى جميعًا وتساوي 2

بالتعويض: $\frac{5-1}{2}=2$، $\frac{0-2}{-1}=2$، $\frac{11-3}{4}=2$. تساوت النسب الثلاث فالنقطة تقع على المستقيم (وتقابل $t=2$).

الإجابة الصحيحة: لأنّ أيّ مضاعف غير صفري لمتجه الاتجاه يمثّل الاتجاه نفسه

متجه الاتجاه غير وحيد: أيّ مضاعف غير صفري له يمثّل الاتجاه نفسه.

الإجابة الصحيحة: بحلّ معادلاتهما البارامترية معًا؛ فإن لم يوجد حلّ ولم يتوازيا فهما متخالفان

تقاطع مستقيمين يُبحث بحلّ معادلاتهما البارامترية معًا؛ فإن لم يوجد حلّ ولم يتوازيا فهما متخالفان.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{3},\ -\frac{1}{3},\ \frac{2}{3}$

متجه الاتجاه $(2,-1,2)$ ومعياره $\sqrt{4+1+4}=3$، فجيوب التمام هي مركباته مقسومة على $3$، ومجموع مربعاتها $\frac{4+1+4}{9}=1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{8}{21}$

الضرب القياسي $2-6+12=8$ ومعيارا المتجهين $3$ و$7$، فـ $\cos\theta=\frac{8}{3\times7}=\frac{8}{21}$.

الإجابة الصحيحة: $(3,0,4)$

بمساواة المركبات: $1+t=1+2s$ و$2-t=-1+s$ فـ $s=1$ و$t=2$، وتتحقق المعادلة الثالثة $2t=3+s$ أي $4=4$. النقطة عند $t=2$ هي $(3,0,4)$.

الإجابة الصحيحة: متخالفان

اتجاهاهما غير متناسبين فليسا متوازيين. من مركبة $x$ نجد $t=1$ ومن مركبة $z$ نجد $t=0$ وهذا تناقض، فلا نقطة مشتركة، فهما متخالفان.

الصورة البارامترية: النقطة $(x_0, y_0, z_0) = (2, -1, 3)$ ومتجه الاتجاه $(a, b, c) = (1, 3, -2)$، فتكون معادلات المستقيم: $x = 2 + t$، $y = -1 + 3t$، $z = 3 - 2t$، حيث $t \in \mathbb{R}$.\n\nالصورة الكارتيزية: بما أن مركبات متجه الاتجاه $1, 3, -2$ جميعها غير صفرية، نحذف الوسيط $t$ بقسمة كل فرق إحداثي على المركبة المقابلة له: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 3}{-2}$.

متجه اتجاه المستقيم هو $\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2,\; -2 - 1,\; 5 - (-3)) = (2, -3, 8)$.\n\nباستخدام النقطة $A(2, 1, -3)$ ومتجه الاتجاه $(2, -3, 8)$ تكون الصورة الكارتيزية: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 3}{8}$.

بمقارنة المعادلة بالصورة العامة $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$: النقطة على المستقيم هي $(x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 1)$ (القيم التي تجعل البسوط أصفارًا)، ومتجه الاتجاه هو مقامات الكسور: $\vec{d} = (4, -5, 2)$.

الضرب القياسي: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (3)(4) + (4)(3) + (0)(0) = 12 + 12 + 0 = 24$.\n\nالمقياسان: $|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$، و$|\vec{d_2}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.\n\nإذن: $\cos\theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}|\,|\vec{d_2}|} = \frac{|24|}{5 \times 5} = \frac{24}{25}$.

نعوّض إحداثيات النقطة في كل كسر على حدة: $\frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$، و$\frac{-1 + 2}{1} = \frac{1}{1} = 1$، و$\frac{5 - 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.\n\nبما أن $2 \neq 1$ فالنسب الثلاث غير متساوية جميعًا، إذن النقطة $(7, -1, 5)$ لا تقع على المستقيم.

بما أن $\vec{d_2} = (4, -2, 6) = 2(2, -1, 3) = 2\,\vec{d_1}$، فإن $\vec{d_2}$ مضاعف قياسي لـ$\vec{d_1}$ (أي $\vec{d_1} \parallel \vec{d_2}$)، إذن المستقيمان متوازيان.\n\nمعادلة المستقيم الأول (بالنقطة $(1, 0, 2)$ ومتجه الاتجاه $\vec{d_1}$): $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 2}{3}$.\n\nمعادلة المستقيم الثاني (بالنقطة $(3, 1, -1)$ ومتجه الاتجاه $\vec{d_2}$): $\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 1}{6}$، وهي تكافئ بعد الاختصار على $2$: $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{3}$.

لكي يتوازى المستقيمان يجب أن تتناسب مركبات متجهَي اتجاهيهما: $\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{m}$.\n\nمن أول كسرين: $\frac{4}{2} = 2$ و$\frac{6}{3} = 2$، إذن معامل التناسب هو $2$.\n\nبمساواة الكسر الثالث: $\frac{8}{m} = 2 \Rightarrow m = \frac{8}{2} = 4$.

شرط التعامد هو أن يكون الضرب القياسي صفرًا: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$.\n\n$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (k)(3) + (2)(-4) + (-1)(2) = 3k - 8 - 2 = 3k - 10$.\n\nبمساواته بالصفر: $3k - 10 = 0 \Rightarrow k = \frac{10}{3}$.

الصورة البارامترية: $x = t$، $y = -2t$، $z = 2t$، حيث $t \in \mathbb{R}$.\n\nحساب الزاوية: $\vec{d_1} = (1, -2, 2)$ و$\vec{d_2} = (2, 2, 1)$، فالضرب القياسي $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (1)(2) + (-2)(2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.\n\nوبما أن $|\vec{d_1}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ و$|\vec{d_2}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$، فإن $\cos\theta = \frac{|0|}{3 \times 3} = 0$.\n\nبما أن الضرب القياسي يساوي صفرًا (و$\cos\theta = 0$)، فإن المستقيمين متعامدان.

النقطة عند $t = 3$: $x = 2 - 3 = -1$، $y = 1 + 2(3) = 7$، $z = -3 + 4(3) = 9$، فالنقطة هي $(-1, 7, 9)$.\n\nالصورة الكارتيزية: النقطة الثابتة على المستقيم هي $(2, 1, -3)$ ومتجه الاتجاه هو معاملات $t$، أي $(-1, 2, 4)$، فتكون المعادلة: $\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 3}{4}$.\n\nالتحقق: بتعويض النقطة $(-1, 7, 9)$: $\frac{-1 - 2}{-1} = 3$، و$\frac{7 - 1}{2} = 3$، و$\frac{9 + 3}{4} = 3$. تساوت النسب الثلاث (وتساوي $t = 3$)، إذن النقطة تقع فعلًا على المستقيم.

نفرض $Q(1,\ 3t,\ 4t)$ نقطة على المستقيم فيكون $\overrightarrow{PQ}=(0,\ 3t-7,\ 4t-1)$. شرط التعامد مع متجه الاتجاه: $3(3t-7)+4(4t-1)=25t-25=0$ فـ $t=1$ و$Q(1,3,4)$. إذن $\overrightarrow{PQ}=(0,-4,3)$ والبعد $=\sqrt{0+16+9}=5$ وحدات.

نساوي المركبات: $1+t=3+s$ و$t=-s$ و$t=k$. من الأولى والثانية $1+t=3-t$ فـ $t=1$ و$s=-1$. إذن $k=t=1$. نقطة التقاطع عند $t=1$ هي $(2,1,1)$، ونتحقق من الثانية بالنقطة نفسها: $(3,0,1)+(-1)(1,-1,0)=(2,1,1)$.

$\overrightarrow{AB}=(2,-2,1)$ ومعياره $\sqrt{4+4+1}=3$. المعادلة الكارتيزية: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$. جيوب تمام الاتجاه $\frac{2}{3},\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{3}$ ومجموع مربعاتها $\frac{4+4+1}{9}=1$.